一阶多智能体一致性分析

### 一阶多智能体系统一致性分析

在一阶多智能体系统的背景下，一致性问题主要关注如何使多个智能体的状态达成一致。这通常通过设计合适的控制协议来实现，在该协议下各个智能体会基于邻居之间的交互调整自己的状态。

#### 控制协议的设计

对于线性图上的连续时间一阶多智能体系统，可以采用拉普拉斯矩阵 \(L\) 来描述网络拓扑结构的影响。假设每个智能体遵循如下动态方程：

\[ \dot{x}_i(t) = u_i(t),\quad i=1,2,\ldots,n \]

其中 \(x_i(t)\in\mathbb{R}\) 表示第 \(i\) 个智能体的位置或状态变量；\(u_i(t)\in\mathbb{R}\) 是施加给它的输入信号[^1]。

为了达到全局一致性目标，即让所有智能体最终具有相同的状态值，可以选择以下形式的分布式控制器作为输入函数:

\[ u_i(t)=\sum_{j\in N(i)}(x_j(t)-x_i(t))=-\left(\sum_{j=1}^{n}l_{ij}(t)x_j(t)\right)+d_il_ix_i(t) \]

这里 \(N(i)\) 定义为与节点 \(i\) 邻接的所有其他节点集合；而 \(l_{ij}(t)\)，以及对应的度数项 \(d_i=\sum_{j=1,j\neq i}^nl_{ji}\)，共同构成了加权邻接矩阵中的元素。

当考虑离散时间情况时，则有更新规则：

\[ x_k(t+1)=(I-D^{-1}A)x_k(t)+(D^{-1}b)r(t) \]

这里的 \(A=[a_{ij}], D=\text{diag}[d_1,d_2,...,d_n]\)，并且向量 \(r(t)\) 可能代表外部参考信号或其他因素引起的偏差修正。

#### 数学证明过程

要验证上述方案能否确保整个群体收敛到同一稳态解，可以通过构建李雅普诺夫泛函来进行稳定性分析。具体来说，如果能够找到正定且沿轨迹单调减少的能量函数 \(V(x)\ge0\) ，那么就可以断言系统是渐近稳定的，并因此实现了预期的一致性性能指标。

#### 应用实例

实际应用场景中，这类模型被广泛应用在无人车编队飞行、传感器网络同步等方面。例如在一个由若干无人机组成的团队执行协同任务过程中，每架飞机都作为一个独立自主运行但又相互协作的个体存在。借助于精心设计好的通信机制和反馈调节规律，它们能够在保持适当间距的同时朝着指定方向前进，从而完成诸如巡逻侦察之类的复杂使命。

import numpy as np
from scipy.linalg import expm

def consensus_protocol(L, T):
    """
    Simulate the evolution of states under a given Laplacian matrix L over time period T.
    
    Parameters:
        L (numpy.ndarray): The weighted adjacency matrix representing network topology.
        T (float): Total simulation duration.

    Returns:
        X (list[numpy.array]): List containing state vectors at different times.
    """
    n = len(L)
    I = np.eye(n)
    A = -(L-I)

    dt = 0.01
    timesteps = int(T/dt)
    X = []
    x_initial = np.random.rand(n)*2-1
    
    for _ in range(timesteps):
        x_next = expm(A*dt).dot(x_initial)
        X.append(x_next.copy())
        x_initial = x_next
        
    return X