Let f (0) = 1, f (1) = 3, and f (x) = f (x − 1) + f(x − 2) for all natural number x ≥ 2. Use induction to prove that f (x) = O(2x ).

### 回答1：

使用归纳法可以证明f(x)=O(2x)：基础情况：f(0) = 1, f(1) = 3，都是O(2x)。归纳情况：假设f(k) = O(2k)，则有f(k + 1) = f(k)·f(k−1) = O(2k·2k−1)，由此可知f(k+1) = O(2k+1)，证毕。

### 回答2：
首先，通过计算我们可以发现f(x)的前几项为1、3、2、6、12、24、...，可以猜测f(x) = 2^x - 1。

然后我们使用归纳法来证明f(x) = O(2^x)。

基础步骤：当x = 0时，f(0) = 1，而2^0 = 1。所以基础步骤成立。

归纳假设：假设对于某个自然数k，f(k) = O(2^k) 成立。

归纳步骤：我们需要证明当x = k + 1时，f(k + 1) = O(2^(k + 1))。

根据题目给出的等式 f(x) = f(x − 1) * f(x − 2)，我们可以得到：
f(k + 1) = f(k) * f(k - 1)。

根据归纳假设，我们有 f(k) = O(2^k)，并且 f(k - 1) = O(2^(k - 1))。

根据大O符号的性质，我们知道 O(a) * O(b) = O(a * b)，所以有：
f(k) * f(k - 1) = O(2^k) * O(2^(k - 1)) = O(2^k * 2^(k - 1)) = O(2^(2k - 1))。

我们可以进一步将 O(2^(2k - 1)) 写成 O(2^(k + 1))，因为 2^(2k - 1) = (2^k)^2 / 2 = 2^(k + 1)。

所以，根据归纳法，我们可以得出结论：对于所有自然数x，f(x) = O(2^x) 成立。

### 回答3：
首先，令n为自然数，我们要证明f(x) = O(2^x)。

首先，我们来验证基本情况。当n = 0时，f(0) = 1，而2^0 = 1，因此基本情况成立。

然后我们假设对于所有k ≤ n的自然数，f(k) = O(2^k)成立，即假设f(k) ≤ C * 2^k，其中C为一个常数。

接下来，我们要证明对于n+1也成立。根据题目给出的条件：f(x) = f(x - 1) * f(x - 2)，我们可以推导出 f(n+1) = f(n) * f(n-1)。

根据我们的假设f(n) ≤ C * 2^n和f(n-1) ≤ C * 2^(n-1)，我们可以得出：
f(n+1) = f(n) * f(n-1) ≤ (C * 2^n) * (C * 2^(n-1))

进一步简化可以得到：
f(n+1) ≤ C^2 * 2^n * 2^(n-1)
= C^2 * 2^(2n-1)

因此，我们可以得到f(n+1) ≤ C^2 * 2^(2n-1)，即f(n+1) = O(2^(2n-1))。

根据基本情况和归纳假设，我们可以得出对于所有自然数n，f(n) = O(2^n)成立。

因此，根据数学归纳法，我们可以证明f(x) = O(2^x)。