∫1/√(e^x + 1)dx

Let u = ex + 1, then du/dx = e^x and dx = du/e^x. Substituting these into the integral, we get:

∫1/√(e^x + 1) dx = ∫1/√u (du/e^x)

Since e^x = u - 1, we can also substitute this into the integral:

∫1/√(e^x + 1) dx = ∫1/√(u - 1) (du/(u - 1))

Using the substitution v = √(u - 1), then du = 2v dv, we get:

∫1/√(e^x + 1) dx = ∫2/(2v^2) dv = -2/v + C

Substituting back, we get:

∫1/√(e^x + 1) dx = -2/√(u - 1) + C

= -2/√(e^x) + C

= -2e^(-x/2) + C

Therefore, the solution is ∫1/√(e^x + 1) dx = -2e^(-x/2) + C.

相关问题

计算∫_0^1▒dy ∫_1^y▒(e^(-x^2 )+e^x sinx)dx

首先将二重积分的积分顺序交换，得到：

∫_1^e^(-1)▒(∫_x^1▒e^(-x^2 )dy+∫_x^1▒e^x sinxdy)dx

对于第一个积分，∫e^(-x^2 )dy = ye^(-x^2 )，所以：

∫_x^1▒e^(-x^2 )dy = e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )

对于第二个积分，∫e^x sinxdy = -e^x cosx + C，其中C为常数，所以：

∫_x^1▒e^x sinxdy = -e^x cosx + e^(-x) cosx - C

将上述结果代入原式，得到：

∫_1^e^(-1)▒(e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )-e^x cosx + e^(-x) cosx + C)dx

对于第一个积分 e^(-x^2 )，可以通过换元法令x=√t，化为高斯积分的形式：

∫e^(-x^2 )dx = ∫e^(-t) / 2√t dt = 1/2 √π erf(x)

其中 erf(x) 表示误差函数。

对于第二个积分 e^x cosx，可以通过分部积分法求出积分结果：

∫e^x cosxdx = e^x cosx + e^x sinx

将上述结果代入原式，得到：

1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C

其中 cosh(x) 表示双曲余弦函数。

因此，原积分的结果为：

1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C

计算∫(0,1)dx∫(0,根号x)(e^x/x-e^(y^2)/根号x)dy

首先，将被积函数改写为：

f(x,y) = e^x/x - e^(y^2)/√x

然后，先对 y 进行积分，得到：

∫(0,根号x) [e^x/x - e^(y^2)/√x] dy
= [e^x/x * y - e^(y^2)/√x * √x]_0^√x
= e^x/x * √x - e^x/x + 1

将此结果代入对 x 的积分式中，得到：

∫(0,1) [e^x/x * √x - e^x/x + 1] dx
= ∫(0,1) e^x/x * √x dx - ∫(0,1) e^x/x dx + ∫(0,1) dx
= 2√π - Γ(0,1) + 1

其中，Γ(0,1) 表示不完全伽玛函数，可以用数值积分的方式进行计算。