∫1/√(e^x + 1)dx
时间: 2023-11-17 08:05:07 浏览: 51
Let u = ex + 1, then du/dx = e^x and dx = du/e^x. Substituting these into the integral, we get:
∫1/√(e^x + 1) dx = ∫1/√u (du/e^x)
Since e^x = u - 1, we can also substitute this into the integral:
∫1/√(e^x + 1) dx = ∫1/√(u - 1) (du/(u - 1))
Using the substitution v = √(u - 1), then du = 2v dv, we get:
∫1/√(e^x + 1) dx = ∫2/(2v^2) dv = -2/v + C
Substituting back, we get:
∫1/√(e^x + 1) dx = -2/√(u - 1) + C
= -2/√(e^x) + C
= -2e^(-x/2) + C
Therefore, the solution is ∫1/√(e^x + 1) dx = -2e^(-x/2) + C.
相关问题
求定积分∫e√x-1dx
我们可以使用变量代换法来求解这个积分。令t = sqrt(x-1),则有x = t^2 + 1,dx = 2t dt。将变量代换带入原式得到:
∫e^(sqrt(x-1))dx = ∫e^(t) * 2t dt
这个积分可以通过分部积分法求解。令f(t) = t * e^t,g'(t) = e^t,则有f'(t) = (t+1) * e^t,g(t) = e^t。根据分部积分法可得:
∫e^(t) * 2t dt = 2t * e^t - ∫(t+1) * e^t dt
对于右边的积分∫(t+1) * e^t dt,可以再次使用分部积分法进行求解。令f(t) = t+1,g'(t) = e^t,则有f'(t) = 1,g(t) = e^t。根据分部积分法可得:
∫(t+1) * e^t dt = (t+1) * e^t - ∫e^t dt
将上式代回原式,得到:
∫e^(sqrt(x-1))dx = 2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C
其中C为常数。因此,定积分 ∫e^(sqrt(x-1))dx 的解为:
2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C
计算∫_0^1▒dy ∫_1^y▒(e^(-x^2 )+e^x sinx)dx
首先将二重积分的积分顺序交换,得到:
∫_1^e^(-1)▒(∫_x^1▒e^(-x^2 )dy+∫_x^1▒e^x sinxdy)dx
对于第一个积分,∫e^(-x^2 )dy = ye^(-x^2 ),所以:
∫_x^1▒e^(-x^2 )dy = e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )
对于第二个积分,∫e^x sinxdy = -e^x cosx + C,其中C为常数,所以:
∫_x^1▒e^x sinxdy = -e^x cosx + e^(-x) cosx - C
将上述结果代入原式,得到:
∫_1^e^(-1)▒(e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )-e^x cosx + e^(-x) cosx + C)dx
对于第一个积分 e^(-x^2 ),可以通过换元法令x=√t,化为高斯积分的形式:
∫e^(-x^2 )dx = ∫e^(-t) / 2√t dt = 1/2 √π erf(x)
其中 erf(x) 表示误差函数。
对于第二个积分 e^x cosx,可以通过分部积分法求出积分结果:
∫e^x cosxdx = e^x cosx + e^x sinx
将上述结果代入原式,得到:
1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C
其中 cosh(x) 表示双曲余弦函数。
因此,原积分的结果为:
1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C