sin(x)e^(-x^2)的积分
时间: 2023-11-09 21:08:58 浏览: 44
这个积分没有原函数可以用初等函数表示,需要使用高级的数学工具来解决。可以使用换元积分法和分部积分法相结合,得到以下结果:
∫sin(x)e^(-x^2) dx = -1/2 * cos(x)e^(-x^2) + 1/2 * ∫e^(-x^2)cos(x) dx
右侧的积分同样没有原函数可以用初等函数表示,可以使用更高级的数学工具来解决,比如高斯函数。因此,sin(x)e^(-x^2)的积分可以用以下形式表示:
∫sin(x)e^(-x^2) dx = -1/2 * cos(x)e^(-x^2) + 1/4 * √π * erf(x) + C
其中,erf(x)是高斯误差函数。C是积分常数。
相关问题
求(sin(πax) e^(-iπux)) / πx的积分
这是一个复合函数积分,需要使用分部积分法。设$f(x)=\frac{1}{\pi x}$,$g(x)=\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}$,则有:
$$\int \frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi x}dx=\int f(x)g(x)dx$$
对 $f(x)$ 求导得:
$$f'(x)=-\frac{1}{\pi x^2}$$
对 $g(x)$ 积分得:
$$\int g(x)dx=-\frac{1}{\pi u}e^{-i\pi ux}$$
根据分部积分公式,有:
$$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int f'(x)\int g(x)dx dx$$
代入上面的式子得:
$$\int \frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi x}dx=-\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi u x}-\frac{a}{u}\int\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}dx$$
这个积分还不能直接求解,需要再次分部积分,设$h(x)=\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}$,则有:
$$h'(x)=-\frac{\pi a\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}-i\pi u\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}+\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x^2}$$
$$\int h(x)dx=\int\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}dx=\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}\ln(x)+i\pi a\int\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}dx-\int\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x^2}dx$$
代入上面的式子得:
$$\int \frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi x}dx=-\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi u x}-\frac{a}{u}\left[\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}\ln(x)-i\pi a\int\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}dx+\int\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x^2}dx\right]$$
移项得:
$$\left(1+\frac{a^2}{u^2}\right)\int\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}dx=-\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi u x}+\frac{a}{u}\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}\ln(x)+\frac{a}{u^2}\int\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x^2}dx$$
将第二个积分式子再次代入上面的式子得:
$$\left(1+\frac{a^2}{u^2}\right)\int\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{x}dx=-\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi u x}+\frac{a}{u}\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}\ln(x)+\frac{a^2}{u^2}\int\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi x}dx$$
移项得:
$$\left(1-\frac{a^2}{u^2}\right)\int\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi x}dx=\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi u x}-\frac{a}{u}\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}\ln(x)$$
最终得到:
$$\int\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi x}dx=\frac{\sin(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi u x\left(1-\frac{a^2}{u^2}\right)}-\frac{a}{u}\frac{\cos(\pi ax)e^{-i\pi ux}}{\pi\left(1-\frac{a^2}{u^2}\right)}\ln(x)+C$$
其中 $C$ 是常数。
(e ^ x) * (sinx) ^ 2的不定积分
首先可以尝试使用分部积分法来求解这个不定积分。设$u = \sin x$,$dv = e^x(\sin x)^2dx$,则$du = \cos x dx$,$v = \int e^x(\sin x)^2dx$。于是有:
$$
\begin{aligned}
\int e^x(\sin x)^2dx &= \int u dv \\
&= uv - \int v du \\
&= e^x(\sin x)^2 - \int e^x \sin x \cos x dx \\
&= e^x(\sin x)^2 + \frac{1}{2}\int e^x \sin 2x dx \\
&= e^x(\sin x)^2 + \frac{1}{2}\int e^x \frac{\sin 2x}{2} d(2x) \\
&= e^x(\sin x)^2 + \frac{1}{4}\int e^x \sin 2x d(2x) \\
&= e^x(\sin x)^2 + \frac{1}{4}\int e^x \sin t dt \quad (t=2x) \\
&= e^x(\sin x)^2 - \frac{1}{4}e^x \cos x - \frac{1}{4}\int e^x \cos x dx \\
&= e^x(\sin x)^2 - \frac{1}{4}e^x \cos x - \frac{1}{4}\int e^x d(\sin x) \\
&= e^x(\sin x)^2 - \frac{1}{4}e^x \cos x - \frac{1}{4}e^x \sin x + C
\end{aligned}
$$
其中$C$为常数。因此,$\int e^x(\sin x)^2dx = e^x(\sin x)^2 - \frac{1}{4}e^x \cos x - \frac{1}{4}e^x \sin x + C$。
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