求数值积分(1)∫(0→1)e^(-x^2)dx;(2)∫(0→1)((sin x)/x)dx
时间: 2023-06-26 19:09:15 浏览: 117
(1) 这是一个比较经典的积分,可以用高斯积分的方法求解。我们将被积函数写成极坐标形式,即 $f(r,\theta)=re^{-r^2}$,那么原积分可以表示为:
$$
\int_0^1 e^{-x^2} dx = \int_0^{+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(r,\theta) dr d\theta
$$
接下来,我们对这个二重积分进行变量代换。令 $u=r^2$,则有:
$$
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(r,\theta) dr d\theta &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{+\infty} e^{-r^2} r dr d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} e^{-u} du\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\\
&= \frac{\pi}{4}
\end{aligned}
$$
所以,原积分的解为 $\frac{\pi}{4}$。
(2) 这个积分是一个没有原函数的积分,需要使用数值积分的方法进行求解。我们可以使用辛普森公式进行数值积分,即:
$$
\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{6}(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b))
$$
将其应用到当前的积分中,令 $a=0$,$b=1$,则有:
$$
\begin{aligned}
\int_0^1 \frac{\sin x}{x} dx &\approx \frac{1}{6}(\frac{\sin 0}{0}+4\frac{\sin\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{\sin 1}{1})\\
&\approx 0.946083
\end{aligned}
$$
所以,原积分的近似解为 $0.946083$。
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