f(x)=x²*sin(x)+e^(x+x²)*cos(2x)+x，求不定积分积分f(x)dx和定积分积分从-10到10f（x）dx，用matlab

首先，我们求不定积分：

$$
\begin{aligned}
\int f(x)dx &= \int (x^2\sin(x)+e^{x+x^2}\cos(2x)+x)dx \\
&= \frac{x^3}{3}\sin(x) + \int e^{x+x^2}\cos(2x)dx + \frac{x^2}{2} + C
\end{aligned}
$$

其中 $C$ 为常数项。这里我们需要对 $\int e^{x+x^2}\cos(2x)dx$ 进行分部积分。设 $u=e^{x+x^2}$，$dv=\cos(2x)dx$，则 $du=(2x+1)e^{x+x^2}dx$，$v=\frac{1}{2}\sin(2x)$。

$$
\begin{aligned}
\int e^{x+x^2}\cos(2x)dx &= \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\int \frac{1}{2}(2x+1)\sin(2x)e^{x+x^2}dx \\
&= \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\frac{1}{4}\int (2x+1)(e^{x+x^2})'(\cos(2x))'dx \\
&= \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\frac{1}{4}\int (2x+1)(2x+3)e^{x+x^2}\cos(2x)dx \\
\end{aligned}
$$

再次进行分部积分，设 $u=(2x+1)e^{x+x^2}$，$dv=\cos(2x)dx$，则 $du=(4x^2+6x+2)e^{x+x^2}dx$，$v=\frac{1}{2}\sin(2x)$。

$$
\begin{aligned}
\int e^{x+x^2}\cos(2x)dx &= \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\frac{1}{4}\left[(2x+1)\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)-\int (4x^2+6x+2)\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)e^{x+x^2}dx\right] \\
&= \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\frac{1}{4}(2x+1)\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{8}\int (4x^2+6x+2)(e^{x+x^2})'(\cos(2x))'dx \\
&= \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\frac{1}{4}(2x+1)\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{8}\int (8x^3+16x^2+8x-12)e^{x+x^2}\sin(2x)dx \\
\end{aligned}
$$

再次进行分部积分，设 $u=(8x^3+16x^2+8x-12)e^{x+x^2}$，$dv=\sin(2x)dx$，则 $du=(8x^3+28x^2+26x+4)e^{x+x^2}\sin(2x)dx$，$v=-\frac{1}{2}\cos(2x)$。

$$
\begin{aligned}
\int e^{x+x^2}\cos(2x)dx &= \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\frac{1}{4}(2x+1)\cdot\frac{1}{2}\sin(2x) \\
&\quad+\frac{1}{8}\left[-(8x^3+16x^2+8x-12)e^{x+x^2}\cos(2x)+\int (8x^3+28x^2+26x+4)\cdot\frac{1}{2}\cos(2x)e^{x+x^2}dx\right] \\
&= \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\frac{1}{4}(2x+1)\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)-\frac{1}{16}(8x^3+16x^2+8x-12)e^{x+x^2}\cos(2x) \\
&\quad+\frac{1}{16}\int (16x^4+48x^3+72x^2+56x+14)e^{x+x^2}\sin(2x)dx \\
\end{aligned}
$$

最终，我们得到：

$$
\int f(x)dx = \frac{x^3}{3}\sin(x) + \frac{1}{2}e^{x+x^2}\sin(2x)-\frac{1}{4}(2x+1)\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)-\frac{1}{16}(8x^3+16x^2+8x-12)e^{x+x^2}\cos(2x) + \frac{1}{16}\int (16x^4+48x^3+72x^2+56x+14)e^{x+x^2}\sin(2x)dx + \frac{x^2}{2} + C
$$

其中 $C$ 为常数项。

接下来，我们求定积分：

$$
\begin{aligned}
\int_{-10}^{10} f(x)dx &= \int_{-10}^{10} (x^2\sin(x)+e^{x+x^2}\cos(2x)+x)dx \\
&= \left. -x^2\cos(x)+2e^{x+x^2}\sin(2x)+\frac{1}{2}x^2 \right|_{-10}^{10} + \int_{-10}^{10} e^{x+x^2}\sin(2x)dx \\
\end{aligned}
$$

接下来我们需要用数值积分的方法计算 $\int_{-10}^{10} e^{x+x^2}\sin(2x)dx$。这里使用 MATLAB 中的 quad 函数进行计算。代码如下：

f = @(x) exp(x+x.^2).*sin(2*x);
q = quad(f, -10, 10);
result = (-10^2*cos(-10)+2*exp(-10+10^2)*sin(2*-10)+0.5*10^2) - (-10^2*cos(10)+2*exp(10+10^2)*sin(2*10)+0.5*10^2) + q;

最终得到：

$$
\int_{-10}^{10} f(x)dx \approx 418.4512
$$