求定积分∫e√x-1dx
时间: 2024-03-29 21:36:06 浏览: 21
我们可以使用变量代换法来求解这个积分。令t = sqrt(x-1),则有x = t^2 + 1,dx = 2t dt。将变量代换带入原式得到:
∫e^(sqrt(x-1))dx = ∫e^(t) * 2t dt
这个积分可以通过分部积分法求解。令f(t) = t * e^t,g'(t) = e^t,则有f'(t) = (t+1) * e^t,g(t) = e^t。根据分部积分法可得:
∫e^(t) * 2t dt = 2t * e^t - ∫(t+1) * e^t dt
对于右边的积分∫(t+1) * e^t dt,可以再次使用分部积分法进行求解。令f(t) = t+1,g'(t) = e^t,则有f'(t) = 1,g(t) = e^t。根据分部积分法可得:
∫(t+1) * e^t dt = (t+1) * e^t - ∫e^t dt
将上式代回原式,得到:
∫e^(sqrt(x-1))dx = 2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C
其中C为常数。因此,定积分 ∫e^(sqrt(x-1))dx 的解为:
2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C
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求定积分∫e的根号下x-1dx
我们可以使用变量代换法来求解这个积分。令u = sqrt(x-1),则有x = u^2 + 1,dx = 2u du。将变量代换带入原式得到:
∫e^(sqrt(x-1))dx = ∫e^(u) * 2u du
这个积分可以通过分部积分法求解。令f(u) = u * e^u,g'(u) = e^u,则有f'(u) = (u+1) * e^u,g(u) = e^u。根据分部积分法可得:
∫e^(u) * 2u du = 2u * e^u - ∫(u+1) * e^u du
对于右边的积分∫(u+1) * e^u du,可以再次使用分部积分法进行求解。令f(u) = u+1,g'(u) = e^u,则有f'(u) = 1,g(u) = e^u。根据分部积分法可得:
∫(u+1) * e^u du = (u+1) * e^u - ∫e^u du
将上式代回原式,得到:
∫e^(sqrt(x-1))dx = 2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C
其中C为常数。因此,定积分 ∫e^(sqrt(x-1))dx 的解为:
2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C
∫(1/2(e^x - 2)) dx
要计算积分∫(1/(2(e^x - 2))) dx,我们可以进行简单的代换。
令 u = e^x - 2,那么 du = e^x dx,或者可以写成 dx = du / e^x。
将代换后的变量代入积分中,得到∫(1/(2u)) * (du / e^x) = ∫(1/(2u)) du。
这是一个常规的积分,结果为(1/2) ln|u| + C。
将代换变量 u 恢复成原始变量 e^x - 2,得到最终结果为(1/2) ln|e^x - 2| + C,其中 C 是常数项。
所以,∫(1/(2(e^x - 2))) dx = (1/2) ln|e^x - 2| + C。