∫√(1+x^2)dx

这个积分可以使用三角代换法进行求解。具体来说，可以令 $x=\tan\theta$，则 $\mathrm{d}x=\sec^2\theta\mathrm{d}\theta$，并且$\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+\tan^2\theta}=\sec\theta$。将这些代入原式，得到：

$$
\begin{aligned}
\int \sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x&=\int \sec\theta\cdot\sec^2\theta\mathrm{d}\theta\\
&=\int \sec^3\theta\mathrm{d}\theta
\end{aligned}
$$

接下来，我们可以使用分部积分法来求解上式。具体来说，我们可以令 $u=\sec\theta$，$\mathrm{d}v=\sec^2\theta\mathrm{d}\theta$，则 $\mathrm{d}u=\sec\theta\tan\theta\mathrm{d}\theta$，$v=\tan\theta$，代入分部积分公式得到：

$$
\begin{aligned}
\int \sec^3\theta\mathrm{d}\theta&=\sec\theta\tan\theta-\int \tan^2\theta\sec\theta\mathrm{d}\theta\\
&=\sec\theta\tan\theta-\int \sec^3\theta\mathrm{d}\theta+\int \sec\theta\mathrm{d}\theta
\end{aligned}
$$

移项可得：

$$
\begin{aligned}
2\int \sec^3\theta\mathrm{d}\theta&=\sec\theta\tan\theta+\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C\\
&=x\sqrt{1+x^2}+\ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C
\end{aligned}
$$

因此， $\int \sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=x\sqrt{1+x^2}+\ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C$。