若D为 x^2+y^2≤1 的上半部分,计算二重积分 I=∫∫y^2√(1-x^2dxdy)

根据题目中的条件，可以将积分区域 D 表示为：

D: -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √(1-x^2)

将被积函数 y^2√(1-x^2) 转换为极坐标形式：

y^2√(1-x^2) = r^2sin^2θcosθ

则有：

I = ∫∫D y^2√(1-x^2)dxdy
= ∫0^π/2 ∫-1^1 r^2sin^2θcosθ√(1-r^2cos^2θ)rdrdθ

利用对称性，可以将上式化为：

I = 2∫0^π/2 ∫0^1 r^2sin^2θcosθ√(1-r^2cos^2θ)rdrdθ

先对内层积分进行计算：

∫0^1 r^3sin^2θcosθ√(1-r^2cos^2θ)dr
令 u = 1 - r^2cos^2θ，则 du = -2rcos^2θdr
当 r = 0 时，u = 1，当 r = 1 时，u = 0
则有：

∫0^1 r^3sin^2θcosθ√(1-r^2cos^2θ)dr
= -∫1^0 (1-u)sin^2θcosθ√u/2 du
= ∫0^1 (1-u)sin^2θcosθ√u/2 du
= 1/2 * sin^2θ * ∫0^1 (u^(1/2) - u^(3/2))du
= 1/6 * sin^2θ

将上式代入原式中，得到：

I = 2∫0^π/2 1/6 * sin^2θcosθ dθ
= 1/6 * ∫0^π/2 sin^2θ d(sinθ)
= 1/6 * (1/2 * sin^2θ)|0^π/2
= 1/12

因此，原式的计算结果为 1/12。