若D为 x^2+y^2≤1 的上半部分,计算二重积分 I=∫∫y^2√(1-x^2dxdy)

根据题目中的条件，可以将积分区域 D 表示为：

D: -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √(1-x^2)

将被积函数 y^2√(1-x^2) 转换为极坐标形式：

y^2√(1-x^2) = r^2sin^2θcosθ

则有：

I = ∫∫D y^2√(1-x^2)dxdy
= ∫0^π/2 ∫-1^1 r^2sin^2θcosθ√(1-r^2cos^2θ)rdrdθ

利用对称性，可以将上式化为：

I = 2∫0^π/2 ∫0^1 r^2sin^2θcosθ√(1-r^2cos^2θ)rdrdθ

先对内层积分进行计算：

∫0^1 r^3sin^2θcosθ√(1-r^2cos^2θ)dr
令 u = 1 - r^2cos^2θ，则 du = -2rcos^2θdr
当 r = 0 时，u = 1，当 r = 1 时，u = 0
则有：

∫0^1 r^3sin^2θcosθ√(1-r^2cos^2θ)dr
= -∫1^0 (1-u)sin^2θcosθ√u/2 du
= ∫0^1 (1-u)sin^2θcosθ√u/2 du
= 1/2 * sin^2θ * ∫0^1 (u^(1/2) - u^(3/2))du
= 1/6 * sin^2θ

将上式代入原式中，得到：

I = 2∫0^π/2 1/6 * sin^2θcosθ dθ
= 1/6 * ∫0^π/2 sin^2θ d(sinθ)
= 1/6 * (1/2 * sin^2θ)|0^π/2
= 1/12

因此，原式的计算结果为 1/12。

相关问题

若D为 x^2+y^2≤1 的上半部分,计算二重积分 I=∫∫y^2√(1-x^2）dxdy

首先，我们可以将二重积分区域 D 表示为极坐标形式：

$$D: 0 \leq r \leq 1, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$$

然后，我们可以使用极坐标变换来计算该二重积分。具体来说，我们可以将 $y^2\sqrt{1-x^2}$ 表示为 $r$ 和 $\theta$ 的函数：

$$y^2\sqrt{1-x^2} = r^2\sin^2\theta \sqrt{1-r^2\cos^2\theta}$$

因此，原始积分可以表示为：

$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r^2\sin^2\theta\sqrt{1-r^2\cos^2\theta}r\,dr\,d\theta$$

接下来，我们可以通过对 $r$ 进行积分来计算该二重积分。具体来说，我们可以使用代换 $u = 1-r^2\cos^2\theta$，$du = -2r\cos^2\theta\,dr$：

$$\begin{aligned} I &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r^3\sin^2\theta\sqrt{1-r^2\cos^2\theta}\,dr\,d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\frac{1}{2}\sin^2\theta\sqrt{u}\,du\,d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{3}u^\frac{3}{2}\sin^2\theta\right]_0^1\,d\theta \\ &= \frac{1}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\,d\theta \\ &= \frac{1}{6}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos2\theta)\,d\theta \\ &= \frac{\pi}{6} \end{aligned}$$

因此，原始积分的值为 $\frac{\pi}{6}$。

若D为 x^2+y^2≤1 的上半部分,计算二重积分 I=∫∫[y^2√(1-x^2)]dxdy

首先，我们需要将积分区域表示出来。由于题目中给出了条件 $x^2+y^2\leq 1$，因此这是一个以原点为圆心，半径为 $1$ 的圆，也就是单位圆。而由于积分区域是上半部分，因此我们只需要考虑圆的上半部分：


接下来，我们对积分式进行变形：

$$
\begin{aligned}
I &= \iint_D y^2\sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\
&= \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} y^2\sqrt{1-x^2} \mathrm{d}y \mathrm{d}x \quad (\text{由于上下半圆对称，只需计算}\ y\geq 0\ \text{的部分})\\
&= \int_{-1}^{1} \frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}} \mathrm{d}x \quad (\text{积分}\ y^2\ \text{时，}\ y\ \text{的范围是}\ [0, \sqrt{1-x^2}]，\text{故需要对}\ y\ \text{积分})\\
&= \frac{1}{3}\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{\frac{3}{2}} \mathrm{d}(1-x^2) \quad (\text{令}\ 1-x^2=t)\\
&= \frac{1}{3}\int_{0}^{1} t^{\frac{3}{2}} \mathrm{d}t \quad (\text{替换积分变量})\\
&= \frac{2}{5}
\end{aligned}
$$

因此，所求的二重积分的值为 $\frac{2}{5}$。