假设一个连续随机变量X~正态(μ,o)，证明E[X] = μ。

由正态分布的期望公式可知：

E[X] = ∫(-∞,∞) x * f(x) dx

其中f(x)表示X的概率密度函数。根据正态分布的概率密度函数公式：

f(x) = 1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))

将上述公式代入期望公式中，有：

E[X] = ∫(-∞,∞) x * [1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))] dx

令t = (x - μ)/σ，有：

E[X] = ∫(-∞,∞) (σt + μ) * [1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-t^2/2)] σdt

将σt + μ拆开，有：

E[X] = ∫(-∞,∞) σt * [1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-t^2/2)] σdt + μ * ∫(-∞,∞) [1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-t^2/2)] σdt

第一个积分可以看出是标准正态分布的期望，即：

∫(-∞,∞) t * [1/√(2π) * exp(-t^2/2)] dt = 0

第二个积分可以看出是标准正态分布的积分，即：

∫(-∞,∞) [1/√(2π) * exp(-t^2/2)] dt = 1

因此，有：

E[X] = μ

证毕。

相关问题

每年，一种特殊类型的树开一次花，然后结果。每一朵花都有可能结出成熟的果实，独立于其他所有的花。我们用x表示花的数量，用Y表示成熱果实的数量。 1. 设Y为随机变量，在给定树开了口朵花的情况下计算成然果买的效量，即： PY, =1=PY=TX=no 证明Yn服从二项分布B(m，p)，并确定m和p。写出所有整数r20的概率p (Yn=n)。 假设这棵树有90朵花(n=90)，让Ygo作为计算成熟果实数量的随机变量。它的期望值和方差是多少？ 2.在什么条件下可以使用二项分布的正态近似？假设这棵树有90朵花，估计它产生至少35个成熟果实的概率。 3.表明这棵树产生的成熟果实数量的期望可以写成 E（=SpP (X=™。 提示：表明P(Y=r)=三，P(Y=rX=n)P(X=n)，并推导出E（Y) ZoE(Y)P(X=n) 4. 附加问题，如果树有r花，有n花的概率是多少 成熟的水果？ 提示：使用贝叶斯公式和全概率定律。

1. 因为每朵花结成熟果实的概率都是独立的且相等，所以可以将每朵花结成熟果实视为一个伯努利试验。设每朵花结成熟果实的概率为p，则Y是n（树开的花的数量）个独立的、相同的伯努利试验的和，即Y服从二项分布B（n，p）。因为树每次开花只结出一朵花，所以p=1/n。因此，Y服从二项分布B（n，1/n）。

当r<=m时，P(Y=r)= C(m,r) * (1/n)^r * (1-1/n)^(m-r)
当r>m时，P(Y=r)=0

其中，m表示树开的花的数量。

2. 二项分布的正态近似可以使用在以下条件下：
- 试验次数n足够大（一般认为n≥20）；
- 二项分布的参数p（每次试验成功的概率）满足0.05≤p≤0.95。

因为这棵树有90朵花，当每朵花结成熟果实的概率为1/90时，p=1/90>0.05，因此可以使用二项分布的正态近似。

根据二项分布的正态近似公式，当p=1/90时，Y的均值μ=np=90*(1/90)=1，方差σ^2=np(1-p)=1*(89/90)=0.9889。因此，Y的期望值是1，方差是0.9889。

要估计这棵树产生至少35个成熟果实的概率，可以使用正态分布的标准化公式：
P(Y≥35) = P(Z≥(35-μ)/σ) = P(Z≥(35-1)/√0.9889) ≈ P(Z≥33.95)

其中，Z是标准正态分布。使用标准正态分布表可以得到P(Z≥3.95)≈0，因此P(Y≥35)≈0。

3. 因为Y服从二项分布B（n，1/n），所以根据全期望公式：
E(Y) = Σr=0^n P(Y=r) * r

又因为P(Y=r)= C(n,r) * (1/n)^r * (1-1/n)^(n-r)，所以：
E(Y) = Σr=0^n (C(n,r) * (1/n)^r * (1-1/n)^(n-r) * r)

将式子化简得：
E(Y) = n * p

因此，这棵树产生的成熟果实数量的期望是树开的花的数量除以每朵花结成熟果实的概率，即E(Y)=n*(1/n)=1。

4. 要求树有r朵花的条件下，有n朵花结成熟果实的概率，可以使用贝叶斯公式和全概率定律：
P(X=n | Y=r) = P(Y=r | X=n) * P(X=n) / P(Y=r)

其中，X表示有n朵花结成熟果实，Y表示有r朵花开花。

根据题意，每朵花结成熟果实的概率为p=1/n，因此有n朵花结成熟果实的概率为P(X=n) = C(r,n) * p^n * (1-p)^(r-n)。又因为Y服从二项分布B(r,p)，所以P(Y=r) = C(r,r) * p^r * (1-p)^(r-r) = p^r。

因此，可以将贝叶斯公式化简为：
P(X=n | Y=r) = C(r,n) * p^n * (1-p)^(r-n) / p^r

代入p=1/n，得到：
P(X=n | Y=r) = C(r,n) * (1/n)^n * (1-1/n)^(r-n) / (1/n)^r

化简得：
P(X=n | Y=r) = C(r,n) / n^n

因此，树有r朵花的条件下，有n朵花结成熟果实的概率为C(r,n) / n^n。

设(X, Y)为二维随机变量，且X,Y相互独立，则以下选项中错误的是（ ） (A) F(x, y) = FX(x)FY (y) (B) P(X ≤ x, Y > y) = P(X ≤ x)P(Y > y) (C) 2X与3Y相互独立 (D) (X, Y) ∼ N(−1, 2, −4, 9, 0.5)

选项 (C) 错误。

由于 X 和 Y 相互独立，因此它们的联合概率分布函数可以表示为：

F(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) = FX(x)FY(y)

所以选项 (A) 成立。

对于选项 (B)，根据 X 和 Y 的独立性，有：

P(X ≤ x, Y > y) = P(X ≤ x)P(Y > y)

所以选项 (B) 也成立。

对于选项 (C)，2X 与 3Y 不一定相互独立。假设 X 服从标准正态分布，Y 服从均值为 0，方差为 1 的正态分布，则有：

Cov(2X, 3Y) = 6 Cov(X, Y) = 0

但是，2X 和 3Y 不是相互独立的，因为它们的线性组合 2X + 3Y 的方差大于 0，即 Var(2X + 3Y) = 13 Var(X) > 0。因此，选项 (C) 不成立。

对于选项 (D)，由于 X 和 Y 独立，且它们的边际分布分别为 N(-1, 2) 和 N(-4, 9)，因此它们的联合分布为二元正态分布。此外，由于它们的协方差为 0.5，因此二元正态分布的参数可以表示为：

(X, Y) ∼ N(μX, μY, σX^2, σY^2, ρ)

其中，μX = -1，μY = -4，σX^2 = 2，σY^2 = 9，ρ = 0.5。因此，选项 (D) 也成立。

综上所述，选项 (C) 错误。