Maltab对符号表达式z=xe^-x^2-y^2分别进行关于y的傅立叶变换、关于x的拉普拉斯变换
时间: 2024-05-18 20:17:15 浏览: 14
好的,我来回答你的问题。
首先,我们可以将符号表达式z=xe^-x^2-y^2表示为z(x,y)=xe^(-x^2-y^2),然后分别进行傅立叶变换和拉普拉斯变换。
关于y的傅立叶变换:
我们需要先将z(x,y)关于y进行积分,得到z(x,ω):
z(x,ω) = ∫[从负无穷到正无穷] z(x,y) e^(-iωy) dy
= ∫[从负无穷到正无穷] xe^(-x^2-y^2) e^(-iωy) dy
接下来,我们需要将z(x,ω)表示为关于x的符号表达式,即:
z(x,ω) = x ∫[从负无穷到正无穷] e^(-x^2) e^(-iωy) ∫[从负无穷到正无穷] e^(-y^2) e^(iωy) dy dx
这里,我们可以使用高斯积分的结果,得到:
∫[从负无穷到正无穷] e^(-x^2) e^(-iωy) dx = √π e^(-π^2ω^2/4) e^(iωy/2)
将其代入上式,得到:
z(x,ω) = x √π e^(-π^2ω^2/4) ∫[从负无穷到正无穷] e^(iωy/2) e^(-y^2) dy
同样地,我们可以使用高斯积分的结果,得到:
∫[从负无穷到正无穷] e^(iωy/2) e^(-y^2) dy = √π e^(-ω^2/4)
将其代入上式,得到:
z(x,ω) = x √π e^(-π^2ω^2/4) √π e^(-ω^2/4)
= x e^(-x^2ω^2/4)
因此,z(x,y)关于y的傅立叶变换为:
Z(x,ω) = x e^(-x^2ω^2/4)
关于x的拉普拉斯变换:
我们需要将z(x,y)关于x进行求导,得到z'(x,y):
z'(x,y) = e^(-x^2-y^2) (1 - 2x^2)
然后,我们可以将z'(x,y)表示为关于y的符号表达式,即:
z'(x,s) = ∫[从负无穷到正无穷] e^(-x^2) e^(-sy) (1 - 2x^2) dy
同样地,我们可以使用高斯积分的结果,得到:
∫[从负无穷到正无穷] e^(-x^2) e^(-sy) dx = √π/2 e^(s^2/4)
将其代入上式,得到:
z'(x,s) = √π/2 e^(s^2/4) (1 - 2x^2)
因此,z(x,y)关于x的拉普拉斯变换为:
Z(s,y) = √π/2 e^(s^2/4) (1 - 2x^2)
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