常用的三种核函数及表达式是什么
时间: 2023-06-05 11:08:37 浏览: 961
常用的三种核函数及表达式是高斯核函数(Gaussian kernel),拉普拉斯核函数(Laplacian kernel)和多项式核函数(Polynomial kernel):
高斯核函数:
K(x, y) = exp(-|x-y|^2/2σ^2)
其中,σ是高斯核函数的带宽参数,用于控制高斯分布的宽窄程度。
拉普拉斯核函数:
K(x, y) = exp(-|x-y|/σ)
多项式核函数:
K(x,y) = (xT y + r)^d
其中,d是多项式的维度,r是常数偏移量。
相关问题
什么是高斯核函数?请举例
高斯核函数,也称为径向基函数(Radial Basis Function,简称RBF),是一种常用的核函数,常用于支持向量机(SVM)和其他机器学习算法中。
高斯核函数的数学表达式为:K(x, y) = exp(-||x - y||^2 / (2 * sigma^2)),其中x和y是输入样本的特征向量,||x - y||表示欧氏距离,sigma是高斯核函数的带宽参数。
举个例子,假设我们有一个二维的数据集,其中一个样本的特征向量为x = [1, 2],另一个样本的特征向量为y = [3, 4]。如果我们使用高斯核函数进行计算,假设带宽参数sigma = 1,则高斯核函数的计算公式为:K(x, y) = exp(-||[1, 2] - [3, 4]||^2 / (2 * 1^2)) = exp(-10 / 2) = exp(-5) ≈ 0.0067。
通过高斯核函数,我们可以度量两个样本之间的相似性或距离,从而在机器学习算法中进行分类、回归或聚类等任务。
核密度估计得到的密度函数表达式
设有 $n$ 个样本点 $x_1,x_2,\dots,x_n$,核密度估计的密度函数表达式为:
$$\hat{f}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^n K\left(\frac{x-x_i}{h}\right)$$
其中,$h$ 为带宽参数,控制着核函数的宽度,$K(\cdot)$ 为核函数,通常要求满足对称性、非负性、积分为 1 等条件。常用的高斯核函数为:
$$K(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2}$$
将高斯核函数代入上面的密度函数表达式,得到:
$$\hat{f}(x)=\frac{1}{nh\sqrt{2\pi}}\sum_{i=1}^n e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-x_i}{h}\right)^2}$$
这就是核密度估计得到的密度函数表达式。