求一个图的最大生成树举例

假设有以下的带权无向图：

    6
 A----B
 |\  /|
 | \/ |
7| /\ |8
 |/__\|
C----D
    4

其中，每个边的权值表示两个顶点之间的距离，我们想要求这个图的最大生成树。

首先，我们可以任选一个顶点作为起点，例如选择顶点A。然后，我们从与A相邻的边中选择权值最大的边，即AB（权值为6），并将其加入到生成树中。此时，生成树包含了A和B两个顶点，以及它们之间的边AB。

接着，我们从与A或B相邻的边中选择权值最大的边，并将其加入到生成树中。由于AC、AD和BD的权值分别为7、8和8，因此我们可以选择其中任意一个。假设我们选择了边AD，此时生成树包含了A、B和D三个顶点，以及它们之间的边AB和AD。

最后，我们从与A、B或D相邻的边中选择权值最大的边，并将其加入到生成树中。由于BC和CD的权值分别为6和4，因此我们选择边BC。此时，我们得到了该图的最大生成树，如下所示：

    6
 A----B
 |    |
 |    |
7|    |8
 |    |
 |    |
C    D

生成树中包含了A、B、C和D四个顶点，以及它们之间的边AB、BC和AD。它的权值为6+8+7=21，是该图中所有生成树中权值最大的一棵。

相关问题

如何求一个图的最大生成树

要求一个图的最大生成树，可以使用 Kruskal 算法或 Prim 算法。

Kruskal 算法的具体实现过程如下：

1. 将边按照权值从大到小排序，初始化一个空的生成树。
2. 依次取出排序后的边，如果当前边的两个端点不在同一个连通分量中，则将这条边加入生成树中，并将这两个端点合并到同一个连通分量中。
3. 重复步骤 2 直到生成树中有 n-1 条边为止。

其中，n 表示图中顶点的个数。最终得到的生成树就是最大生成树。

Prim 算法的具体实现过程如下：

1. 任选一个顶点作为起点，将它加入生成树中，初始化一个与之相邻的顶点集合。
2. 从相邻的顶点集合中选出一条边权值最大的边，加入生成树中，并将这个顶点加入相邻的顶点集合中。
3. 重复步骤 2 直到生成树中有 n-1 条边为止。

其中，n 表示图中顶点的个数。最终得到的生成树就是最大生成树。

两种算法都可以求解一个图的最大生成树，它们的时间复杂度都为 O(mlogm)，其中 m 表示边的个数。不同的是，Kruskal 算法适用于稠密图，而 Prim 算法适用于稀疏图。

求一个连通图的最小生成树

以下是两种求连通图最小生成树的算法：
1. 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
Kruskal算法是一种基于贪心思想的算法，它的基本思路是将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入该边后会形成环，则不加入该边。直到加入n-1条边为止，此时生成的树就是最小生成树。

   def find(parent, i):
       if parent[i] == i:
           return i
       return find(parent, parent[i])

   def union(parent, rank, x, y):
       xroot = find(parent, x)
       yroot = find(parent, y)

       if rank[xroot] < rank[yroot]:
           parent[xroot] = yroot
       elif rank[xroot] > rank[yroot]:
           parent[yroot] = xroot
       else:
           parent[yroot] = xroot
           rank[xroot] += 1

   def kruskal(graph):
       result = []
       i = 0
       e = 0
       graph = sorted(graph, key=lambda item: item[2])
       parent = []
       rank = []
       for node in range(len(graph)):
           parent.append(node)
           rank.append(0)
       while e < len(graph) - 1:
           u, v, w = graph[i]
           i = i + 1
           x = find(parent, u)
           y = find(parent, v)
           if x != y:
               e = e + 1
               result.append([u, v, w])
               union(parent, rank, x, y)
       return result

2. 普里姆（Prim）算法
Prim算法也是一种基于贪心思想的算法，它的基本思路是从一个点开始，每次选择一个与当前生成树相邻的权值最小的点加入到生成树中，直到加入n-1个点为止，此时生成的树就是最小生成树。

   import sys

   class Graph():
       def __init__(self, vertices):
           self.V = vertices
           self.graph = [[0 for column in range(vertices)]
                         for row in range(vertices)]

       def printMST(self, parent):
           print("Edge \tWeight")
           for i in range(1, self.V):
               print(parent[i], "-", i, "\t", self.graph[i][parent[i]])

       def minKey(self, key, mstSet):
           min = sys.maxsize
           for v in range(self.V):
               if key[v] < min and mstSet[v] == False:
                   min = key[v]
                   min_index = v
           return min_index

       def primMST(self):
           key = [sys.maxsize] * self.V
           parent = [None] * self.V
           key[0] = 0
           mstSet = [False] * self.V
           parent[0] = -1
           for cout in range(self.V):
               u = self.minKey(key, mstSet)
               mstSet[u] = True
               for v in range(self.V):
                   if self.graph[u][v] > 0 and mstSet[v] == False and key[v] > self.graph[u][v]:
                       key[v] = self.graph[u][v]
                       parent[v] = u
           return self.printMST(parent)