给定一个带权图，求其最小生成树

可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解一个带权图的最小生成树。

Prim算法的基本思想是从一个顶点开始，依次加入与当前生成树相邻的权值最小的顶点，直到覆盖所有的顶点。具体步骤如下：

1.选取一个起始点，将其加入生成树中。

2.对于当前生成树中的每个顶点，找到与其相邻的未加入生成树的顶点中权值最小的那个。

3.将该顶点加入生成树中，并标记为已访问。

4.重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。

Kruskal算法的基本思想是先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入权值最小的边，直到形成一棵树，且所有顶点都在树中。具体步骤如下：

1.将所有边按照权值从小到大排序。

2.从权值最小的边开始，依次加入边，如果该边的两个顶点不在同一连通块中，则将其加入生成树中，并合并这两个连通块。

3.重复步骤2，直到所有顶点都在同一连通块中，形成一棵树。

以上就是求解带权图最小生成树的两种常用算法。

相关问题

给定一个带权图求最小生成树代码c语言

以下是基于 Kruskal 算法的 C 代码实现，该算法的时间复杂度为 O(m*logm)：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>

const int MAXN = 1005; // 最大点数
const int MAXM = 200005; // 最大边数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大

struct Edge {
    int u, v, w;
    bool operator < (const Edge& e) const {
        return w < e.w;
    }
} edges[MAXM];

int n, m; // 点数和边数
int fa[MAXN]; // 并查集数组
int ans; // 最小生成树的权值和

int find(int x) { // 并查集查找
    if (fa[x] == x) {
        return x;
    }
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

void kruskal() {
    memset(fa, 0, sizeof(fa));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
    std::sort(edges, edges + m);
    int cnt = 0;
    ans = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        int x = find(u), y = find(v);
        if (x != y) {
            fa[x] = y;
            ans += w;
            cnt++;
            if (cnt == n - 1) {
                break;
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
    }
    kruskal();
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

其中，edges[i].u, edges[i].v, edges[i].w 分别表示第 i 条边的起点、终点和边权值。Kruskal 算法的核心是将边按照权值从小到大排序，依次取出一条边，如果这条边的两个端点不在同一个连通块中，就将它们所在的连通块合并起来，并把这条边加入最小生成树。最终，所有边都被考虑完毕，算法结束。

用c语言写 以邻接表位存储结构实现无向图给定一个带权图，求其最小生成树

要求一个带权无向图的最小生成树，可以使用 Prim 或 Kruskal 算法，下面给出使用 Prim 算法的代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 100    // 最大顶点数
#define INF 0x3f3f3f3f        // 无穷大

// 边的定义
typedef struct edge {
    int v1, v2;     // 边的两个端点
    int weight;     // 权值
} Edge;

// 邻接表中的边的定义
typedef struct edgeNode {
    int adjvex;     // 邻接点编号
    int weight;     // 权值
    struct edgeNode *next;  // 指向下一个邻接点的指针
} EdgeNode;

// 邻接表中顶点的定义
typedef struct vertexNode {
    int data;       // 顶点的数据
    EdgeNode *firstEdge; // 指向第一个邻接点的指针
} VertexNode;

// 邻接表的定义
typedef struct {
    VertexNode adjList[MAX_VERTEX_NUM]; // 邻接表数组
    int vertexNum, edgeNum;     // 顶点数和边数
} Graph;

// 创建一个图
void createGraph(Graph *G) {
    printf("请输入顶点数和边数：");
    scanf("%d%d", &G->vertexNum, &G->edgeNum);
    getchar();
    // 初始化邻接表
    for (int i = 0; i < G->vertexNum; i++) {
        printf("请输入第%d个顶点的值：", i);
        scanf("%d", &G->adjList[i].data);
        G->adjList[i].firstEdge = NULL;
        getchar();
    }
    // 建立边表
    printf("请依次输入每条边的起点、终点和权值：\n");
    for (int i = 0; i < G->edgeNum; i++) {
        Edge e;
        scanf("%d%d%d", &e.v1, &e.v2, &e.weight);
        getchar();
        // 新建一个边节点
        EdgeNode *p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
        p->adjvex = e.v2;
        p->weight = e.weight;
        p->next = G->adjList[e.v1].firstEdge; // 插入到表头
        G->adjList[e.v1].firstEdge = p;
        // 因为是无向图，所以要对称添加一条反向的边
        EdgeNode *q = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
        q->adjvex = e.v1;
        q->weight = e.weight;
        q->next = G->adjList[e.v2].firstEdge; // 插入到表头
        G->adjList[e.v2].firstEdge = q;
    }
}

// Prim 算法求最小生成树
void prim(Graph G) {
    bool visited[MAX_VERTEX_NUM] = {false}; // 标记每个顶点是否已访问
    int dist[MAX_VERTEX_NUM];   // 保存从已选顶点到未选顶点的最小权值
    int parent[MAX_VERTEX_NUM]; // 记录最小生成树的边
    // 初始化
    for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) {
        dist[i] = INF;
    }
    visited[0] = true; // 从第一个顶点出发
    // 处理第一个顶点的邻接点
    EdgeNode *p = G.adjList[0].firstEdge;
    while (p != NULL) {
        dist[p->adjvex] = p->weight;
        parent[p->adjvex] = 0; // 记录边
        p = p->next;
    }
    // 从剩下的 n-1 个顶点中选出 n-1 条边
    for (int i = 1; i < G.vertexNum; i++) {
        int v = -1; // 选出一个未访问的顶点，使得 dist[v] 最小
        int min = INF;
        // 找到 dist 最小的顶点
        for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++) {
            if (!visited[j] && dist[j] < min) {
                v = j;
                min = dist[j];
            }
        }
        if (v == -1) {
            // 找不到未访问的顶点，说明图不连通
            printf("图不连通！\n");
            return;
        }
        visited[v] = true;
        // 更新从已选顶点到未选顶点的最小权值
        p = G.adjList[v].firstEdge;
        while (p != NULL) {
            if (!visited[p->adjvex] && p->weight < dist[p->adjvex]) {
                dist[p->adjvex] = p->weight;
                parent[p->adjvex] = v; // 记录边
            }
            p = p->next;
        }
    }
    // 输出最小生成树
    printf("最小生成树的边为：\n");
    int weightSum = 0;
    for (int i = 1; i < G.vertexNum; i++) {
        printf("(%d, %d, %d)\n", parent[i], i, dist[i]);
        weightSum += dist[i];
    }
    printf("最小权值和为：%d\n", weightSum);
}

int main() {
    Graph G;
    createGraph(&G);
    prim(G);
    return 0;
}

在代码中，我们使用了邻接表来存储图，并使用 Prim 算法求出了最小生成树。在 Prim 算法中，我们使用了一个 dist 数组来保存从已选顶点到未选顶点的最小权值，使用一个 parent 数组来记录最小生成树的边。在每次选择一个顶点时，我们需要更新 dist 数组，然后根据 dist 数组找到最小的 dist 值对应的顶点，将其加入已选顶点集合中，并将其邻接点的 dist 值更新，直至所有顶点都被加入已选顶点集合中。最后，我们输出最小生成树的边以及权值和。

需要注意的是，在 Prim 算法中，我们需要处理图不连通的情况，即在选择一个顶点时，找不到未访问的顶点。此时，我们需要输出提示信息并结束算法。