给定一个带权图,求其最小生成树
时间: 2023-11-27 15:49:05 浏览: 50
可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解一个带权图的最小生成树。
Prim算法的基本思想是从一个顶点开始,依次加入与当前生成树相邻的权值最小的顶点,直到覆盖所有的顶点。具体步骤如下:
1.选取一个起始点,将其加入生成树中。
2.对于当前生成树中的每个顶点,找到与其相邻的未加入生成树的顶点中权值最小的那个。
3.将该顶点加入生成树中,并标记为已访问。
4.重复步骤2和3,直到所有顶点都被访问。
Kruskal算法的基本思想是先将所有边按照权值从小到大排序,然后依次加入权值最小的边,直到形成一棵树,且所有顶点都在树中。具体步骤如下:
1.将所有边按照权值从小到大排序。
2.从权值最小的边开始,依次加入边,如果该边的两个顶点不在同一连通块中,则将其加入生成树中,并合并这两个连通块。
3.重复步骤2,直到所有顶点都在同一连通块中,形成一棵树。
以上就是求解带权图最小生成树的两种常用算法。
相关问题
给定一个带权图求最小生成树代码c语言
以下是基于 Kruskal 算法的 C 代码实现,该算法的时间复杂度为 O(m*logm):
```
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
const int MAXN = 1005; // 最大点数
const int MAXM = 200005; // 最大边数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大
struct Edge {
int u, v, w;
bool operator < (const Edge& e) const {
return w < e.w;
}
} edges[MAXM];
int n, m; // 点数和边数
int fa[MAXN]; // 并查集数组
int ans; // 最小生成树的权值和
int find(int x) { // 并查集查找
if (fa[x] == x) {
return x;
}
return fa[x] = find(fa[x]);
}
void kruskal() {
memset(fa, 0, sizeof(fa));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
fa[i] = i;
}
std::sort(edges, edges + m);
int cnt = 0;
ans = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
int x = find(u), y = find(v);
if (x != y) {
fa[x] = y;
ans += w;
cnt++;
if (cnt == n - 1) {
break;
}
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
}
kruskal();
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
```
其中,edges[i].u, edges[i].v, edges[i].w 分别表示第 i 条边的起点、终点和边权值。Kruskal 算法的核心是将边按照权值从小到大排序,依次取出一条边,如果这条边的两个端点不在同一个连通块中,就将它们所在的连通块合并起来,并把这条边加入最小生成树。最终,所有边都被考虑完毕,算法结束。
用c语言写 以邻接表位存储结构实现无向图给定一个带权图,求其最小生成树
要求一个带权无向图的最小生成树,可以使用 Prim 或 Kruskal 算法,下面给出使用 Prim 算法的代码实现:
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#define MAX_VERTEX_NUM 100 // 最大顶点数
#define INF 0x3f3f3f3f // 无穷大
// 边的定义
typedef struct edge {
int v1, v2; // 边的两个端点
int weight; // 权值
} Edge;
// 邻接表中的边的定义
typedef struct edgeNode {
int adjvex; // 邻接点编号
int weight; // 权值
struct edgeNode *next; // 指向下一个邻接点的指针
} EdgeNode;
// 邻接表中顶点的定义
typedef struct vertexNode {
int data; // 顶点的数据
EdgeNode *firstEdge; // 指向第一个邻接点的指针
} VertexNode;
// 邻接表的定义
typedef struct {
VertexNode adjList[MAX_VERTEX_NUM]; // 邻接表数组
int vertexNum, edgeNum; // 顶点数和边数
} Graph;
// 创建一个图
void createGraph(Graph *G) {
printf("请输入顶点数和边数:");
scanf("%d%d", &G->vertexNum, &G->edgeNum);
getchar();
// 初始化邻接表
for (int i = 0; i < G->vertexNum; i++) {
printf("请输入第%d个顶点的值:", i);
scanf("%d", &G->adjList[i].data);
G->adjList[i].firstEdge = NULL;
getchar();
}
// 建立边表
printf("请依次输入每条边的起点、终点和权值:\n");
for (int i = 0; i < G->edgeNum; i++) {
Edge e;
scanf("%d%d%d", &e.v1, &e.v2, &e.weight);
getchar();
// 新建一个边节点
EdgeNode *p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
p->adjvex = e.v2;
p->weight = e.weight;
p->next = G->adjList[e.v1].firstEdge; // 插入到表头
G->adjList[e.v1].firstEdge = p;
// 因为是无向图,所以要对称添加一条反向的边
EdgeNode *q = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
q->adjvex = e.v1;
q->weight = e.weight;
q->next = G->adjList[e.v2].firstEdge; // 插入到表头
G->adjList[e.v2].firstEdge = q;
}
}
// Prim 算法求最小生成树
void prim(Graph G) {
bool visited[MAX_VERTEX_NUM] = {false}; // 标记每个顶点是否已访问
int dist[MAX_VERTEX_NUM]; // 保存从已选顶点到未选顶点的最小权值
int parent[MAX_VERTEX_NUM]; // 记录最小生成树的边
// 初始化
for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) {
dist[i] = INF;
}
visited[0] = true; // 从第一个顶点出发
// 处理第一个顶点的邻接点
EdgeNode *p = G.adjList[0].firstEdge;
while (p != NULL) {
dist[p->adjvex] = p->weight;
parent[p->adjvex] = 0; // 记录边
p = p->next;
}
// 从剩下的 n-1 个顶点中选出 n-1 条边
for (int i = 1; i < G.vertexNum; i++) {
int v = -1; // 选出一个未访问的顶点,使得 dist[v] 最小
int min = INF;
// 找到 dist 最小的顶点
for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++) {
if (!visited[j] && dist[j] < min) {
v = j;
min = dist[j];
}
}
if (v == -1) {
// 找不到未访问的顶点,说明图不连通
printf("图不连通!\n");
return;
}
visited[v] = true;
// 更新从已选顶点到未选顶点的最小权值
p = G.adjList[v].firstEdge;
while (p != NULL) {
if (!visited[p->adjvex] && p->weight < dist[p->adjvex]) {
dist[p->adjvex] = p->weight;
parent[p->adjvex] = v; // 记录边
}
p = p->next;
}
}
// 输出最小生成树
printf("最小生成树的边为:\n");
int weightSum = 0;
for (int i = 1; i < G.vertexNum; i++) {
printf("(%d, %d, %d)\n", parent[i], i, dist[i]);
weightSum += dist[i];
}
printf("最小权值和为:%d\n", weightSum);
}
int main() {
Graph G;
createGraph(&G);
prim(G);
return 0;
}
```
在代码中,我们使用了邻接表来存储图,并使用 Prim 算法求出了最小生成树。在 Prim 算法中,我们使用了一个 dist 数组来保存从已选顶点到未选顶点的最小权值,使用一个 parent 数组来记录最小生成树的边。在每次选择一个顶点时,我们需要更新 dist 数组,然后根据 dist 数组找到最小的 dist 值对应的顶点,将其加入已选顶点集合中,并将其邻接点的 dist 值更新,直至所有顶点都被加入已选顶点集合中。最后,我们输出最小生成树的边以及权值和。
需要注意的是,在 Prim 算法中,我们需要处理图不连通的情况,即在选择一个顶点时,找不到未访问的顶点。此时,我们需要输出提示信息并结束算法。