给定一个带权图，求其最小生成树

可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解一个带权图的最小生成树。

Prim算法的基本思想是从一个顶点开始，依次加入与当前生成树相邻的权值最小的顶点，直到覆盖所有的顶点。具体步骤如下：

1.选取一个起始点，将其加入生成树中。

2.对于当前生成树中的每个顶点，找到与其相邻的未加入生成树的顶点中权值最小的那个。

3.将该顶点加入生成树中，并标记为已访问。

4.重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。

Kruskal算法的基本思想是先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入权值最小的边，直到形成一棵树，且所有顶点都在树中。具体步骤如下：

1.将所有边按照权值从小到大排序。

2.从权值最小的边开始，依次加入边，如果该边的两个顶点不在同一连通块中，则将其加入生成树中，并合并这两个连通块。

3.重复步骤2，直到所有顶点都在同一连通块中，形成一棵树。

以上就是求解带权图最小生成树的两种常用算法。

相关问题

给定一个带权图求最小生成树代码c语言

以下是基于 Kruskal 算法的 C 代码实现，该算法的时间复杂度为 O(m*logm)：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>

const int MAXN = 1005; // 最大点数
const int MAXM = 200005; // 最大边数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大

struct Edge {
    int u, v, w;
    bool operator < (const Edge& e) const {
        return w < e.w;
    }
} edges[MAXM];

int n, m; // 点数和边数
int fa[MAXN]; // 并查集数组
int ans; // 最小生成树的权值和

int find(int x) { // 并查集查找
    if (fa[x] == x) {
        return x;
    }
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

void kruskal() {
    memset(fa, 0, sizeof(fa));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
    std::sort(edges, edges + m);
    int cnt = 0;
    ans = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        int x = find(u), y = find(v);
        if (x != y) {
            fa[x] = y;
            ans += w;
            cnt++;
            if (cnt == n - 1) {
                break;
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
    }
    kruskal();
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

其中，edges[i].u, edges[i].v, edges[i].w 分别表示第 i 条边的起点、终点和边权值。Kruskal 算法的核心是将边按照权值从小到大排序，依次取出一条边，如果这条边的两个端点不在同一个连通块中，就将它们所在的连通块合并起来，并把这条边加入最小生成树。最终，所有边都被考虑完毕，算法结束。

给定一个带权图，求其最小生成树。使用避圈法或破圈法，用c语言编写

以下是使用避圈法（Kruskal算法）求带权图最小生成树的C语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义边的结构体
typedef struct edge {
    int from; // 起点
    int to; // 终点
    int weight; // 权重
} Edge;

// 定义并查集结构体
typedef struct union_find {
    int *parent; // 存放节点的父节点
    int *rank; // 存放节点的秩（树的高度）
} UnionFind;

// 初始化并查集
UnionFind *createUnionFind(int n) {
    UnionFind *uf = (UnionFind *) malloc(sizeof(UnionFind));
    uf->parent = (int *) malloc(n * sizeof(int));
    uf->rank = (int *) malloc(n * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        uf->parent[i] = i; // 初始时每个节点的父节点都是自己
        uf->rank[i] = 0; // 初始时每个节点的秩都是0
    }
    return uf;
}

// 查找节点所在集合的根节点
int find(UnionFind *uf, int x) {
    if (uf->parent[x] != x) {
        uf->parent[x] = find(uf, uf->parent[x]); // 路径压缩
    }
    return uf->parent[x];
}

// 合并两个集合
void unionSets(UnionFind *uf, int x, int y) {
    int rootX = find(uf, x);
    int rootY = find(uf, y);
    if (rootX != rootY) {
        if (uf->rank[rootX] < uf->rank[rootY]) {
            uf->parent[rootX] = rootY;
        } else if (uf->rank[rootX] > uf->rank[rootY]) {
            uf->parent[rootY] = rootX;
        } else {
            uf->parent[rootY] = rootX;
            uf->rank[rootX]++;
        }
    }
}

// 比较两条边的权重，用于排序
int compare(const void *a, const void *b) {
    Edge *edgeA = (Edge *) a;
    Edge *edgeB = (Edge *) b;
    return edgeA->weight - edgeB->weight;
}

// 使用避圈法（Kruskal算法）求最小生成树
Edge *kruskal(int **graph, int n, int *numEdges) {
    // 构造边的数组
    Edge *edges = (Edge *) malloc(n * n * sizeof(Edge));
    int index = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (graph[i][j] != 0) {
                edges[index].from = i;
                edges[index].to = j;
                edges[index].weight = graph[i][j];
                index++;
            }
        }
    }
    *numEdges = index;

    // 对边按权重进行排序
    qsort(edges, *numEdges, sizeof(Edge), compare);

    // 使用并查集维护连通性
    UnionFind *uf = createUnionFind(n);
    Edge *result = (Edge *) malloc((n - 1) * sizeof(Edge));
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < *numEdges; i++) {
        int from = edges[i].from;
        int to = edges[i].to;
        if (find(uf, from) != find(uf, to)) {
            result[count] = edges[i];
            count++;
            unionSets(uf, from, to);
            if (count == n - 1) {
                break;
            }
        }
    }

    // 释放内存
    free(uf->parent);
    free(uf->rank);
    free(uf);
    free(edges);

    return result;
}

int main() {
    int n = 5; // 图的节点数
    int **graph = (int **) malloc(n * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        graph[i] = (int *) malloc(n * sizeof(int));
    }
    graph[0][1] = 2;
    graph[0][3] = 6;
    graph[1][2] = 3;
    graph[1][3] = 8;
    graph[1][4] = 5;
    graph[2][4] = 7;
    graph[3][4] = 9;

    int numEdges;
    Edge *result = kruskal(graph, n, &numEdges);

    printf("最小生成树的边为：\n");
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        printf("(%d, %d, %d)\n", result[i].from, result[i].to, result[i].weight);
    }

    // 释放内存
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        free(graph[i]);
    }
    free(graph);
    free(result);

    return 0;
}

上述代码中，我们使用了并查集来维护连通性，并使用边的权重对边进行排序。最终得到的结果是最小生成树的所有边。