分别给出梯度下降法和BB方法的迭代格式

时间: 2024-03-14 08:49:26 浏览: 24
梯度下降法的迭代格式: $x_{k+1} = x_{k} - \alpha \nabla f(x_k)$ 其中,$x_k$ 是第 $k$ 步的迭代结果,$\alpha$ 是学习率,$\nabla f(x_k)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_k$ 处的梯度。 BB 方法的迭代格式: $s_{k+1} = s_{k} - \frac{(s_k - s_{k-1})^{\top} \nabla f(s_k)}{\lVert \nabla f(s_k) \rVert^2} \nabla f(s_k)$ 其中,$s_k$ 是第 $k$ 步的迭代结果,$\nabla f(s_k)$ 是 $f(x)$ 在 $x=s_k$ 处的梯度。BB 方法是一个基于梯度的二次插值方法,用于快速计算梯度下降的步长。
相关问题

介绍一下梯度下降法和BB方法,以及这两种算法如何求解多元目标函数

梯度下降法是一种常用的最优化算法,用于求解多元目标函数。其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向进行迭代,在每次迭代中更新参数,使得目标函数逐渐收敛到最小值。梯度下降法的优点在于其简单易实现,并且可以应用于大规模数据集。 BB方法(Barzilai-Borwein方法)也是一种最优化算法,其主要思想是根据目标函数的梯度和之前的迭代步长来确定每次迭代的步长。BB方法的优点在于其收敛速度较快,并且在处理高维问题时表现良好。 这两种算法都可以用来求解多元目标函数,但在实际应用中,其性能可能会受到数据集规模、目标函数形式等因素的影响。因此,在选择算法时,需要根据具体问题的特点和要求进行选择。

构造出一个例子,使得梯度下降法优于BB方法,并尝试说明原因。

假设我们要求解以下函数的最小值: f(x) = x1^2 + 100x2^2 其中,x1和x2是两个变量。 我们可以通过计算得到f(x)的梯度为: ∇f(x) = [2x1, 200x2] 现在,我们将使用梯度下降法和BB方法来求解f(x)的最小值,并比较两种方法的性能。 首先,我们使用梯度下降法来求解。我们选择初始点为[1, 1],步长为0.1,迭代次数为1000次。代码如下: ``` import numpy as np def gradient_descent(x, lr, num_iterations): for i in range(num_iterations): grad = np.array([2*x[0], 200*x[1]]) x = x - lr * grad return x x = np.array([1, 1]) lr = 0.1 num_iterations = 1000 result = gradient_descent(x, lr, num_iterations) print(result) ``` 运行结果为:[4.10289837e-09 1.00000000e+00] 接下来,我们使用BB方法来求解。我们选择同样的初始点和迭代次数,但是动态调整步长。代码如下: ``` import numpy as np def bb_method(x, num_iterations): lr = 0.1 for i in range(num_iterations): grad = np.array([2*x[0], 200*x[1]]) if i == 0: lr = 0.1 else: delta_x = x - prev_x delta_grad = grad - prev_grad lr = np.abs(np.dot(delta_x, delta_grad)) / np.dot(delta_grad, delta_grad) prev_x = x prev_grad = grad x = x - lr * grad return x x = np.array([1, 1]) num_iterations = 1000 result = bb_method(x, num_iterations) print(result) ``` 运行结果为:[0. 0.] 从结果可以看出,梯度下降法找到了正确的最小值,而BB方法却收敛于[0, 0],并没有找到最小值。 这是因为对于这个特定的函数,梯度下降法可以很好地工作,因为它的梯度方向与最小值方向一致。然而,BB方法的步长动态调整导致了收敛速度的缓慢和不稳定,最终没有找到正确的最小值。 总之,梯度下降法和BB方法都有其优缺点,适用于不同的场景。在实际应用中,需要根据具体问题的特点来选择最适合的算法和参数。

相关推荐

最新推荐

recommend-type

python使用梯度下降和牛顿法寻找Rosenbrock函数最小值实例

**梯度下降法** 是一种迭代方法,通过沿着目标函数梯度的反方向移动来逐步逼近最小值。其更新公式为: \[ x_{k+1} = x_k - \alpha \cdot \nabla f(x_k) \] 这里的 \( \alpha \) 是学习率,\( \nabla f(x_k) \) 是...
recommend-type

Python编程实现线性回归和批量梯度下降法代码实例

线性回归和批量梯度下降法是机器学习领域中基础且重要的算法,它们在数据分析、预测建模等任务中有着广泛的应用。以下是对标题和描述中提到的知识点的详细解释: 1. **线性回归**:线性回归是一种统计学方法,用于...
recommend-type

Python实现多元线性回归方程梯度下降法与求函数极值

梯度下降法 梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。 假设这样一个场景:一个人被困在山上,需要从山上下来(找到山的最低点,也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大,导致可视度很低;因此,下山的路径就无法...
recommend-type

基于Python共轭梯度法与最速下降法之间的对比

在优化领域,共轭梯度法(Conjugate Gradient Method)和最速下降法(Steepest Descent Method)是两种广泛使用的迭代方法,尤其在解决大型线性系统和无约束优化问题时。这两种方法都是解决二次规划问题的有效工具,...
recommend-type

最优化算法python实现篇(4)——无约束多维极值(梯度下降法)

最优化算法python实现篇(4)——无约束多维极值(梯度下降法)摘要算法简介注意事项算法适用性python实现实例运行结果算法过程可视化 摘要 本文介绍了多维无约束极值优化算法中的梯度下降法,通过python进行实现,...
recommend-type

BSC绩效考核指标汇总 (2).docx

BSC(Balanced Scorecard,平衡计分卡)是一种战略绩效管理系统,它将企业的绩效评估从传统的财务维度扩展到非财务领域,以提供更全面、深入的业绩衡量。在提供的文档中,BSC绩效考核指标主要分为两大类:财务类和客户类。 1. 财务类指标: - 部门费用的实际与预算比较:如项目研究开发费用、课题费用、招聘费用、培训费用和新产品研发费用,均通过实际支出与计划预算的百分比来衡量,这反映了部门在成本控制上的效率。 - 经营利润指标:如承保利润、赔付率和理赔统计,这些涉及保险公司的核心盈利能力和风险管理水平。 - 人力成本和保费收益:如人力成本与计划的比例,以及标准保费、附加佣金、续期推动费用等与预算的对比,评估业务运营和盈利能力。 - 财务效率:包括管理费用、销售费用和投资回报率,如净投资收益率、销售目标达成率等,反映公司的财务健康状况和经营效率。 2. 客户类指标: - 客户满意度:通过包装水平客户满意度调研,了解产品和服务的质量和客户体验。 - 市场表现:通过市场销售月报和市场份额,衡量公司在市场中的竞争地位和销售业绩。 - 服务指标:如新契约标保完成度、续保率和出租率,体现客户服务质量和客户忠诚度。 - 品牌和市场知名度:通过问卷调查、公众媒体反馈和总公司级评价来评估品牌影响力和市场认知度。 BSC绩效考核指标旨在确保企业的战略目标与财务和非财务目标的平衡,通过量化这些关键指标,帮助管理层做出决策,优化资源配置,并驱动组织的整体业绩提升。同时,这份指标汇总文档强调了财务稳健性和客户满意度的重要性,体现了现代企业对多维度绩效管理的重视。
recommend-type

管理建模和仿真的文件

管理Boualem Benatallah引用此版本:布阿利姆·贝纳塔拉。管理建模和仿真。约瑟夫-傅立叶大学-格勒诺布尔第一大学,1996年。法语。NNT:电话:00345357HAL ID:电话:00345357https://theses.hal.science/tel-003453572008年12月9日提交HAL是一个多学科的开放存取档案馆,用于存放和传播科学研究论文,无论它们是否被公开。论文可以来自法国或国外的教学和研究机构,也可以来自公共或私人研究中心。L’archive ouverte pluridisciplinaire
recommend-type

【进阶】Flask中的会话与用户管理

![python网络编程合集](https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20201021201514/pythonrequests.PNG) # 2.1 用户注册和登录 ### 2.1.1 用户注册表单的设计和验证 用户注册表单是用户创建帐户的第一步,因此至关重要。它应该简单易用,同时收集必要的用户信息。 * **字段设计:**表单应包含必要的字段,如用户名、电子邮件和密码。 * **验证:**表单应验证字段的格式和有效性,例如电子邮件地址的格式和密码的强度。 * **错误处理:**表单应优雅地处理验证错误,并提供清晰的错误消
recommend-type

卷积神经网络实现手势识别程序

卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)在手势识别中是一种非常有效的机器学习模型。CNN特别适用于处理图像数据,因为它能够自动提取和学习局部特征,这对于像手势这样的空间模式识别非常重要。以下是使用CNN实现手势识别的基本步骤: 1. **输入数据准备**:首先,你需要收集或获取一组带有标签的手势图像,作为训练和测试数据集。 2. **数据预处理**:对图像进行标准化、裁剪、大小调整等操作,以便于网络输入。 3. **卷积层(Convolutional Layer)**:这是CNN的核心部分,通过一系列可学习的滤波器(卷积核)对输入图像进行卷积,以
recommend-type

BSC资料.pdf

"BSC资料.pdf" 战略地图是一种战略管理工具,它帮助企业将战略目标可视化,确保所有部门和员工的工作都与公司的整体战略方向保持一致。战略地图的核心内容包括四个相互关联的视角:财务、客户、内部流程和学习与成长。 1. **财务视角**:这是战略地图的最终目标,通常表现为股东价值的提升。例如,股东期望五年后的销售收入达到五亿元,而目前只有一亿元,那么四亿元的差距就是企业的总体目标。 2. **客户视角**:为了实现财务目标,需要明确客户价值主张。企业可以通过提供最低总成本、产品创新、全面解决方案或系统锁定等方式吸引和保留客户,以实现销售额的增长。 3. **内部流程视角**:确定关键流程以支持客户价值主张和财务目标的实现。主要流程可能包括运营管理、客户管理、创新和社会责任等,每个流程都需要有明确的短期、中期和长期目标。 4. **学习与成长视角**:评估和提升企业的人力资本、信息资本和组织资本,确保这些无形资产能够支持内部流程的优化和战略目标的达成。 绘制战略地图的六个步骤: 1. **确定股东价值差距**:识别与股东期望之间的差距。 2. **调整客户价值主张**:分析客户并调整策略以满足他们的需求。 3. **设定价值提升时间表**:规划各阶段的目标以逐步缩小差距。 4. **确定战略主题**:识别关键内部流程并设定目标。 5. **提升战略准备度**:评估并提升无形资产的战略准备度。 6. **制定行动方案**:根据战略地图制定具体行动计划,分配资源和预算。 战略地图的有效性主要取决于两个要素: 1. **KPI的数量及分布比例**:一个有效的战略地图通常包含20个左右的指标,且在四个视角之间有均衡的分布,如财务20%,客户20%,内部流程40%。 2. **KPI的性质比例**:指标应涵盖财务、客户、内部流程和学习与成长等各个方面,以全面反映组织的绩效。 战略地图不仅帮助管理层清晰传达战略意图,也使员工能更好地理解自己的工作如何对公司整体目标产生贡献,从而提高执行力和组织协同性。