写一个利用The Projection and Contraction Method求解考虑制造商、零售商利润最大化的关于供应链的变分不等式的MATLAB代码

首先，我们需要定义问题的变分不等式和The Projection and Contraction Method的迭代步骤。

假设制造商和零售商之间的供应链有三个关键决策变量：制造商定价 $p$，制造商生产数量 $q$ 和零售商订购数量 $x$。此外，我们还有以下假设：

- 制造商成本是固定的，并且为 $c$。
- 零售商成本是 $v$。
- 零售商可以出售货物的价格是 $r(p, x)$，其中 $r$ 是给定的函数。

这个问题的变分不等式可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\max_{p,q,x} &\ \ p(x-q)-cq-vx \\
\text{s.t. } &\ \ x \in [0, \hat{x}] \\
&\ \ q \in [0, \hat{q}] \\
&\ \ x-r(p,x) \leq 0
\end{aligned}
$$

其中 $\hat{x}$ 和 $\hat{q}$ 是分别表示零售商订购数量和制造商生产数量的最大值。

The Projection and Contraction Method的迭代步骤如下：

- 定义原始变分不等式 $F(p,q,x) = x-r(p,x) -\max\{0, x-\hat{x}\} -\max\{0,q-\hat{q}\}$。
- 定义投影算子 $\text{proj}_{[0,\hat{x}]}(x) = \min\{\max\{0,x\}, \hat{x}\}$ 和 $\text{proj}_{[0,\hat{q}]}(q) = \min\{\max\{0,q\}, \hat{q}\}$。
- 定义收缩算子 $T(F)(p,q,x) = (p,q,x) - \tau \nabla F(p,q,x)$，其中 $\tau$ 是步长参数。

使用以上步骤，可以得到求解供应链问题的The Projection and Contraction Method的MATLAB代码如下：

% 定义参数
c = 10; % 制造商成本
v = 5; % 零售商成本
hat_x = 100; % 零售商订购数量上限
hat_q = 50; % 制造商生产数量上限
tau = 0.1; % 步长参数

% 定义投影算子
proj_x = @(x) min(max(x, 0), hat_x);
proj_q = @(q) min(max(q, 0), hat_q);

% 定义函数 r
r = @(p,x) 50 - p + 0.5*x;

% 定义变分不等式 F 和梯度函数 grad_F
F = @(p,q,x) x - r(p,x) - max(0, x-hat_x) - max(0, q-hat_q);
grad_F = @(p,q,x) [-r(p,x) - 0.5*(x-r(p,x)) / (p-25)^2, ...
                   -(p-25), ...
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