ln（1+2*x）在x=0的幂级数展开

我们可以使用泰勒公式对函数 $f(x)=\ln(1+2x)$ 在 $x=0$ 处进行展开。具体来说，对于连续 $n+1$ 阶可导的函数 $f(x)$，有以下的泰勒公式成立：

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n(x) $$

其中 $f^{(k)}(0)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $k$ 阶导数，$R_n(x)$ 是余项，满足 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$，其中 $\xi$ 是介于 $0$ 和 $x$ 之间的某个数。

对于本题中的函数 $f(x)=\ln(1+2x)$，我们可以求出它的各阶导数：

$$ \begin{aligned} f'(x)&=\frac{2}{1+2x}\\ f''(x)&=-\frac{4}{(1+2x)^2}\\ f'''(x)&=\frac{16}{(1+2x)^3}\\ f^{(4)}(x)&=-\frac{96}{(1+2x)^4}\\ \cdots \end{aligned} $$

可以发现，$f^{(k)}(0)$ 的形式为 $(-1)^{k-1}(k-1)!\times2^k$。因此，我们有：

$$ \begin{aligned} f(x)&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{k!}\times2^kx^k+R_n(x)\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k-1}2^{k-1}}{k}x^k+R_n(x)\\ &=2x-\frac{4}{2}x^2+\frac{8}{3}x^3-\frac{16}{4}x^4+\cdots+(-1)^{n}\frac{2^n}{n+1}(2x)^{n+1} \end{aligned} $$

其中 $R_n(x)=(-1)^{n}\frac{2^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}x^{n+1}$，其中 $\theta$ 是介于 $0$ 和 $1$ 之间的某个数。当 $x=0$ 时，余项 $R_n(0)=0$，所以：

$$ \ln(1+2x)=2x-\frac{4}{2}x^2+\frac{8}{3}x^3-\frac{16}{4}x^4+\cdots $$

因此，$\ln(1+2x)$ 在 $x=0$ 的幂级数展开式为 $2x-\frac{4}{2}x^2+\frac{8}{3}x^3-\frac{16}{4}x^4+\cdots$。