ln(1-x)展开成麦克劳林幂级数
时间: 2023-10-23 10:37:46 浏览: 68
$$
\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
$$
这是因为当 $|x|<1$ 时,有:
$$
\begin{aligned}
\ln(1-x)&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\mathrm{d}t\\
&=-\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^n\mathrm{d}t\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x}t^{n-1}\mathrm{d}t\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
\end{aligned}
$$
其中最后一步的积分公式为:
$$
\int x^{n-1}\mathrm{d}x=\frac{x^n}{n}+C
$$
其中 $C$ 是常数。
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