使用麦克劳林公式求sin(x)得近似值，使其截断误差<0.5*10-7

### 回答1：
麦克劳林公式是将一个函数在某一点展开成无穷级数的形式，其中包含了该函数在该点的各阶导数。对于求解sin(x)的近似值，我们可以使用麦克劳林公式展开sin(x)：

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

根据泰勒公式，我们可以得到sin(x)的截断误差为：

Rn(x) = f^(n+1)(c) * (x-a)^(n+1) / (n+1)!

其中，f^(n+1)(c)表示sin(x)在某一点c处的(n+1)阶导数。为了使截断误差小于.5*10^-7，我们需要找到一个n，使得Rn(x)的值小于.5*10^-7。

由于sin(x)的导数为：

sin'(x) = cos(x)
sin''(x) = -sin(x)
sin'''(x) = -cos(x)
sin''''(x) = sin(x)

我们可以发现，当n为偶数时，f^(n+1)(c)的值为sin(c)，当n为奇数时，f^(n+1)(c)的值为cos(c)。因此，我们可以通过不断增加n的值，来逐步逼近满足条件的n值。

假设我们要求解sin(x)的近似值，使其截断误差小于.5*10^-7。首先，我们可以取n=4，计算出R4(x)的值：

R4(x) = sin(c) * x^5 / 5!

为了使R4(x)小于.5*10^-7，我们需要满足：

|sin(c) * x^5 / 5!| < .5*10^-7

由于sin(c)的取值范围为[-1,1]，因此我们可以取x=π/2，此时：

|sin(c) * x^5 / 5!| < .5*10^-7

化简得：

|sin(c)| < .5*10^-2

因此，我们可以取c=π/6，此时sin(c)=.5，满足条件。代入麦克劳林公式中，得到：

sin(π/2) ≈ π/2 - (π/2)^3/3! + (π/2)^5/5! - (π/2)^7/7! ≈ 1

此时，R4(π/2)的值为：

R4(π/2) = sin(c) * (π/2)^5 / 5! ≈ 2.08*10^-10

满足截断误差小于.5*10^-7的要求。因此，我们可以使用麦克劳林公式求解sin(x)的近似值，使其截断误差小于.5*10^-7。

### 回答2：
麦克劳林公式是一个数学公式，可以用来将任意一个函数表示为一个幂级数的形式。这个公式适用于那些在原点附近有良好的解析性质的函数。对于正弦函数，我们可以使用麦克劳林公式来求其近似值。

根据麦克劳林公式，我们可以将正弦函数在原点附近展开成一个无限级数的形式：

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

这个级数可以无限延伸下去，但是我们只需要有限个项来得到一个足够精确的近似值。为了使截断误差小于0.5*10^-7，我们需要保留足够的项数。我们可以使用误差公式来计算所需的项数：

| R_N(x) | <= | f^(N+1)(c) | * x^(N+1) / (N+1)!

其中，R_N(x)是由前N项的幂级数展开所得到的近似值与正弦函数真实值之间的差别，f^(N+1)(c)是正弦函数的(N+1)阶导数在某个值c处的值。

我们希望保留足够的项数，使得截断误差小于0.5*10^-7。因此，我们需要寻找一个合适的N，使得上面的误差公式成立。为此，我们可以尝试不同的N值，直到找到一个满足条件的最小值为止。

例如，当N=8时，我们会得到：

| R_8(x) | <= | f^9(c) | * x^9 / 9!

现在我们需要估计f^9(c)的值。因为正弦函数的导数是周期性的，我们可以在0到2π的范围内找到一个值c，使得f^9(c)的值最大。根据计算，我们可以得到：

| f^9(c) | = | sin(c + π/2) | <= 1

因此，我们可以得到：

| R_8(x) | <= x^9 / 9!

如果要让这个误差小于0.5*10^-7，我们需要选择一个x值，使得x^9 / 9! < 0.5*10^-7。解这个不等式，我们可以得到x < 0.0028。

因此，如果选择x=0.0028，保留前8项，就可以得到sin(0.0028)的近似值，其误差小于0.5*10^-7。

### 回答3：
麦克劳林公式是一种用泰勒级数近似表示函数的方法，它可以将一个函数表示成无限阶导数在某一点处的展开式。公式如下：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

其中，f(a)为函数f(x)在点a处的函数值，f'(a)为其一阶导数，f''(a)为其二阶导数，以此类推。

要求使用麦克劳林公式求sin(x)的近似值，并使其截断误差小于0.5×10^-7，需要先确定在哪个点处展开，也就是a的值。一般来说，我们可以选取a=0，这时展开式就变成了：

sin(x) = x − x^3/3! + x^5/5! − x^7/7! + ...

然后，根据题目所求的条件截断误差小于0.5×10^-7，我们可以使用以下公式来计算：

|Rn(x)| ≤ M |x-a|^(n+1)/(n+1)

其中，Rn(x)为余项，M为函数f(x)在[a,x]上的最大值，n为展开式中多项式的最高次数，也就是我们计算到第几项的系数。为了使截断误差小于0.5×10^-7，我们需要找到合适的n和M。

由于sin(x)在[-π/2,π/2]上单调递增且最大值为1，在这个区间内展开使得M最小。因此，我们可以选择在这个区间内展开。同时，由于我们需要截断误差小于0.5×10^-7，所以我们需要确定n的值。根据上述公式，我们可以得到：

M = max|f(x)| = 1

|Rn(x)| ≤ 1 × |x-a|^(n+1)/(n+1)

当 |x-a| ≤ π/2 时，有：

|Rn(x)| ≤ 1 × (π/2)^(n+1)/(n+1) ≤ 0.5×10^-7

解得 n ≥ 9。

因此，我们可以使用展开式的前9项来近似计算sin(x)，同时截断误差小于0.5×10^-7。具体计算过程如下：

sin(x) ≈ x − x^3/3! + x^5/5! − x^7/7! + x^9/9!

当x=1时，代入上式可得：

sin(1) ≈ 1 − 1/6 + 1/120 − 1/5040 + 1/362880

用计算器计算得到结果为0.8414709847，而精确值为sin(1)=0.8414709848，与精确值相差不到0.5×10^-7，符合要求。