麦克劳林展开和洛朗展开的区别例题

麦克劳林展开和洛朗展开都是用来将一个函数展开成无穷级数的方法，但是它们的展开点不同。

麦克劳林展开是以 $x=0$ 为展开点，展开形式如下：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

洛朗展开则是以 $x=a$ 为展开点，展开形式如下：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(x-a)^n}$$

其中 $b_n$ 是由展开点 $a$ 处的函数值和导数值决定的常数。

下面是一个例题，用麦克劳林展开和洛朗展开分别展开 $f(x)=\frac{1}{x-x_0}$：

对于麦克劳林展开，我们有：

$$\frac{1}{x-x_0} = -\frac{1}{x_0}\frac{1}{1-\frac{x}{x_0}} = -\frac{1}{x_0}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{x_0}\right)^n$$

对于洛朗展开，我们需要先将 $x-x_0$ 移到分母中，得到：

$$\frac{1}{x-x_0} = -\frac{1}{x_0}\frac{1}{1-\frac{x-x_0}{x_0}} = -\frac{1}{x_0}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x-x_0}{x_0}\right)^n$$

然后再将展开式中的 $x$ 替换为 $x+a$：

$$\frac{1}{x-x_0} = -\frac{1}{x_0}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x-x_0}{x_0}\right)^n = -\frac{1}{x_0}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x-x_0+a-a}{x_0}\right)^n$$

$$= -\frac{1}{x_0}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x-a}{x_0}-1\right)^n = -\frac{1}{x_0}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-a)^n}{x_0^n}\right]^{-1}$$

$$= -\frac{1}{x_0}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-a)^n}{x_0^{n+1}}\right]^{-1}$$

因此，将 $f(x)=\frac{1}{x-x_0}$ 用麦克劳林展开和洛朗展开分别展开得到：

$$f(x) = -\frac{1}{x_0}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{x_0}\right)^n$$

$$f(x) = -\frac{1}{x_0}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-a)^n}{x_0^{n+1}}\right]^{-1}$$

注意，在洛朗展开中，展开式有两部分：第一部分是有限项的多项式，第二部分是无限项的负幂次幂级数。