1+x/1-x的麦克劳林级数展开

1 / (1 - x) 的麦克劳林级数展开为：1 + x + x^2 + x^3 + ...，因此 1 / (1 - x) 的麦克劳林级数展开为：1 / (1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ...，而 1 / (1 - x) * x 的麦克劳林级数展开为：x + x^2 + x^3 + x^4 + ...，因此 1 / (1 - x) - 1 的麦克劳林级数展开为：(1 + x + x^2 + x^3 + ...) - 1 = x + x^2 + x^3 + ...，即 1 / (1 - x) - 1 的麦克劳林级数展开为：x + x^2 + x^3 + x^4 + ...。

相关问题

将ln （(1+x)/(1-x)）在x=0处进行Taylor展开，令x=1/3。编写MATLAB循环程序，使用累加和的方法求出ln2的近似值,循环结束的条件是累加和不再变化.请使用双精度进行计算,分别统计累加次数(或展开项数)并比较精度.

将自然对数 \( \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \) 在 \( x=0 \) 处进行泰勒展开，我们可以利用麦克劳林级数来逼近。对于 \( x=\frac{1}{3} \)，该函数的展开形式将是：

\[ \ln\left(\frac{4}{3}\right) = \ln(4) - \ln(3) \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \]

在 MATLAB 中，可以使用 `vpa` 函数来进行高精度计算，并使用循环来逐次增加项数直到累加和稳定。以下是一个简单的示例程序：

% 设置初始值和精度要求
x = 1/3;
epsilon = 1e-15; % 稳定性的阈值
term_count = 1; % 初始项数
sum_log = vpa(log(4) - log(3), 50); % 高精度初始值

% 循环求解累加和，直到变化小于阈值
while abs(sum_log - vpa(sum_log, term_count)) > epsilon
    term = x^term_count / term_count; % 计算当前项
    sum_log = sum_log + term; % 更新累加和
    term_count++; % 增加项数
end

disp(['Approximation of ln(2): ', num2str(sum_log)]);
disp(['Number of terms used: ', num2str(term_count)]);
disp(['Accuracy (relative change): ', num2str(abs((sum_log - vpa(sum_log, term_count))/sum_log) * 100), '%']);

运行这个程序后，它会计算 ln(2) 的高精度近似值，以及所需的累加次数和相对误差。

ln（1-x）展开成麦克劳林幂级数

$$
\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
$$

这是因为当 $|x|<1$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
\ln(1-x)&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\mathrm{d}t\\
&=-\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^n\mathrm{d}t\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x}t^{n-1}\mathrm{d}t\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
\end{aligned}
$$

其中最后一步的积分公式为：

$$
\int x^{n-1}\mathrm{d}x=\frac{x^n}{n}+C
$$

其中 $C$ 是常数。