单摆鲁棒滑模控制matlab实现从简到繁
时间: 2023-11-26 19:02:26 浏览: 40
单摆是一种典型的非线性系统,其控制较为困难,需要使用一些高级控制方法。其中,鲁棒滑模控制是一种常用的控制方法,具有良好的鲁棒性和稳定性。下面,我们将从简单到复杂,介绍单摆鲁棒滑模控制的Matlab实现步骤。
1. 单摆模型建立
单摆的运动方程可以表示为:
$$\ddot{\theta}+ \frac{g}{l} \sin(\theta) = u$$
其中,$\theta$ 表示摆角,$g$ 表示重力加速度,$l$ 表示摆长,$u$ 表示控制输入。
为了方便控制设计,我们将上式转化为状态空间形式:
$$\begin{cases} \dot{x_1} = x_2 \\ \dot{x_2} = -\frac{g}{l} \sin(x_1) + u \end{cases}$$
其中,$x_1$ 表示摆角,$x_2$ 表示摆角速度。
在Matlab中,我们可以使用ode45函数求解上述状态方程的数值解。
2. 鲁棒滑模控制
鲁棒滑模控制的基本思想是,在系统状态空间中引入一个滑模面,使得系统状态在滑模面上运动。通过设计滑模控制器,使得系统状态在滑模面上的运动是可控的,并且对于系统中存在的不确定性和干扰具有鲁棒性。
具体来说,我们可以将单摆控制问题转化为以下形式:
$$\begin{cases} \dot{x_1} = x_2 \\ \dot{x_2} = -\frac{g}{l} \sin(x_1) + u + d \end{cases}$$
其中,$d$ 表示系统中的不确定性和干扰。
然后,我们可以将系统状态空间划分为两个区域:滑模面上方和滑模面下方。滑模面的方程为:
$$s(x) = x_2 + \lambda \text{sgn}(x_1)$$
其中,$\lambda$ 是设计参数,$\text{sgn}(x_1)$ 表示 $x_1$ 的符号函数。
对于滑模面上方的状态,我们设计一个控制器使得 $s(x)$ 快速收敛到零。对于滑模面下方的状态,我们设计另一个控制器使得 $s(x)$ 快速收敛到零,并且对于不确定性和干扰具有鲁棒性。
具体来说,我们可以设计如下鲁棒滑模控制器:
$$u = -\frac{g}{l} \sin(x_1) - k \text{sgn}(s(x)) - \lambda x_2$$
其中,$k$ 是控制器增益,$\lambda$ 是滑模面参数。
3. Matlab实现
根据上述鲁棒滑模控制器,我们可以在Matlab中实现单摆的控制。具体步骤如下:
(1)定义系统常数和初始状态
```
g = 9.8; % 重力加速度
l = 1; % 摆长
lambda = 10; % 滑模面参数
k = 10; % 控制器增益
x0 = [0.1; 0]; % 初始状态
```
(2)定义鲁棒滑模控制器
```
function u = ctl(x, lambda, k)
s = x(2) + lambda * sign(x(1));
if s > 0
u = -g/l * sin(x(1)) - k * sign(s) - lambda * x(2);
else
u = -g/l * sin(x(1)) + k * sign(s) - lambda * x(2);
end
end
```
(3)求解状态方程
```
[t, x] = ode45(@(t, x) [x(2); -g/l * sin(x(1)) + ctl(x, lambda, k)], [0, 10], x0);
```
(4)绘制摆角随时间变化图像
```
plot(t, x(:, 1));
xlabel('时间');
ylabel('摆角');
```
完整代码如下:
```
g = 9.8; % 重力加速度
l = 1; % 摆长
lambda = 10; % 滑模面参数
k = 10; % 控制器增益
x0 = [0.1; 0]; % 初始状态
function u = ctl(x, lambda, k)
s = x(2) + lambda * sign(x(1));
if s > 0
u = -g/l * sin(x(1)) - k * sign(s) - lambda * x(2);
else
u = -g/l * sin(x(1)) + k * sign(s) - lambda * x(2);
end
end
[t, x] = ode45(@(t, x) [x(2); -g/l * sin(x(1)) + ctl(x, lambda, k)], [0, 10], x0);
plot(t, x(:, 1));
xlabel('时间');
ylabel('摆角');
```
运行上述代码,即可得到单摆鲁棒滑模控制的摆角随时间变化图像。