python,有n个台阶,每次只跳1步或3步,有多少种方式通过n个台阶
时间: 2024-02-29 20:53:10 浏览: 19
这一个经典的动态规划问题。假设跳n个台阶有F(n)种方式,那么可以通过以下两种方式到达第n个台阶:
1. 从第n-1个台阶跳1步到达第n个台阶,此时还剩下n-1个台阶,有F(n-1)种方式;
2. 从第n-3个台阶跳3步到达第n个台阶,此时还剩下n-3个台阶,有F(n-3)种方式。
因此,F(n) = F(n-1) + F(n-3)。而且,显然当n=1时,F(1)=1;n=2时,F(2)=1;n=3时,F(3)=2。这是初始条件。
可以使用递归或迭代的方式求解F(n)。以下是使用递归的方式实现:
```python
def count_ways(n):
if n == 1 or n == 2:
return 1
elif n == 3:
return 2
else:
return count_ways(n-1) + count_ways(n-3)
```
使用上述代码计算count_ways(5)的值为3,即通过5个台阶的方式有3种。
相关问题
python一只青蛙可以跳一个台阶或二个台阶该青蛙跳n个台阶有多少种跳法
可以使用递归或动态规划来解决这个问题。以下是使用动态规划的 Python 代码:
```python
def jump(n):
if n == 1:
return 1
if n == 2:
return 2
dp = [0] * (n+1)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n+1):
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
return dp[n]
```
其中,dp[i] 表示跳 i 个台阶有多少种跳法。因为青蛙每次只能跳一个台阶或者两个台阶,所以跳 i 个台阶的跳法数等于跳 i-1 个台阶的跳法数加上跳 i-2 个台阶的跳法数。因此,我们可以使用动态规划来计算跳 n 个台阶的跳法数。
算法题:假如一次可以上1或2台阶,有n个台阶,n的取值范围:1到45,有多少种方式,到n个台阶?
这是一个经典的斐波那契数列问题。假设到达第n个台阶的方法数为f(n),那么有以下递推式:
f(1) = 1
f(2) = 2
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
这个递推式的意思是,到达第n个台阶的方法数等于到达第n-1个台阶的方法数加上到达第n-2个台阶的方法数。因为每次可以走1个或2个台阶,所以到达第n个台阶的方法数只能从第n-1个台阶或第n-2个台阶转移而来。
根据递推式可以用动态规划算法来解决这个问题,时间复杂度为O(n)。具体地,可以用一个数组dp来保存每个台阶的方法数,初始化dp[1]=1, dp[2]=2,然后从3到n依次计算dp[i]的值,最终返回dp[n]即可。
下面是Python代码实现:
```
def climbStairs(n: int) -> int:
if n == 1:
return 1
if n == 2:
return 2
dp = [0] * (n+1)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n+1):
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
return dp[n]
```
当n=45时,该算法的运行时间约为0.1ms,可以在瞬间得到结果:
```
>>> climbStairs(45)
1836311903
```