用matlab 计算任意多边形的几何中心和重心

计算任意多边形的几何中心和重心需要用到多边形的顶点坐标。以下是使用MATLAB计算多边形几何中心和重心的方法：

假设多边形顶点坐标为 $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2),...,P_n(x_n,y_n)$。

1. 计算几何中心

几何中心是所有顶点坐标的平均值，即：

$$x_c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

$$y_c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i$$

MATLAB代码如下：

% 输入顶点坐标
x = [x1, x2, ..., xn];
y = [y1, y2, ..., yn];

% 计算几何中心
xc = mean(x);
yc = mean(y);

2. 计算重心

重心是所有三角形重心的加权平均值，其中每个三角形的重心是三个顶点坐标的平均值。具体而言，对于第 $i$ 个三角形，其重心坐标为：

$$x_i=\frac{1}{3}(x_{i1}+x_{i2}+x_{i3})$$

$$y_i=\frac{1}{3}(y_{i1}+y_{i2}+y_{i3})$$

其中 $(x_{i1},y_{i1})$、$(x_{i2},y_{i2})$ 和 $(x_{i3},y_{i3})$ 是第 $i$ 个三角形的三个顶点坐标。

重心的坐标为所有三角形重心坐标的加权平均值，其中每个三角形的面积为其三个顶点构成的三角形面积的和，即：

$$x_g=\frac{\sum_{i=1}^{n} S_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}$$

$$y_g=\frac{\sum_{i=1}^{n} S_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}$$

其中 $S_i$ 是第 $i$ 个三角形的面积。

MATLAB代码如下：

% 输入顶点坐标
x = [x1, x2, ..., xn];
y = [y1, y2, ..., yn];

% 计算三角形面积和重心
S = 0;
xg = 0;
yg = 0;
for i = 1:n-2
    for j = i+1:n-1
        for k = j+1:n
            % 计算第 i,j,k 个顶点组成的三角形面积
            Si = abs((x(j)-x(i))*(y(k)-y(i))-(x(k)-x(i))*(y(j)-y(i)))/2;
            % 计算三角形重心坐标
            xi = (x(i) + x(j) + x(k))/3;
            yi = (y(i) + y(j) + y(k))/3;
            % 更新重心坐标和三角形面积
            xg = xg + Si*xi;
            yg = yg + Si*yi;
            S = S + Si;
        end
    end
end

% 计算重心坐标
xg = xg/S;
yg = yg/S;

注意，如果多边形是凸多边形，则几何中心和重心重合。如果多边形是凹多边形，则重心会偏离几何中心。