多元线性回归算法详解

### 多元线性回归算法原理

多元线性回归是一种用于分析多个自变量与因变量之间关系的方法。此方法旨在找到一组最优参数 \( \hat{\omega} = (\omega; b) \)，这些参数能够使预测值与实际观测值间的差异尽可能小[^5]。

具体来说，在多元线性回归中，假设存在\( m \)个训练样本，每个样本具有\( d \)个特征，则可以构建一个尺寸为\( m * (d + 1)\)的数据矩阵\( X \)。这里每行代表一个实例，前\( d \)列对应各个特征值，而最后一列为常数项1以便于计算偏置\( b \)。相应地，目标变量也被整理成一个长度为\( m \)的向量\( y=(y_1;y_2;\ldots;y_m) \)。

为了评估模型的好坏程度，通常采用均方误差(Mean Squared Error, MSE)作为损失函数，即试图寻找能使下述公式达到最小化的权重系数：

\[ L(\omega)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\omega(x_i)-y_i)^2 \]

其中\( h_\omega(x_i) \)表示基于当前参数设置下的预测输出，\( x_i \)是第\( i \)个输入样本，\( y_i \)则是对应的真值标签[^2]。

### Python实现方式

下面给出一段简单的Python代码片段展示如何利用Scikit-Learn库快速搭建并训练一个多维线性回归模型:

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np

# 创建模拟数据集
np.random.seed(0)
X = 2 * np.random.rand(100, 3)  # 生成含有三个特征的数据集
y = X.dot([4, 5, 6]) + np.random.randn(100)

# 初始化线性回归对象
model = LinearRegression()

# 训练模型
model.fit(X, y)

print(f'Coefficients: {model.coef_}')
print(f'Intercept: {model.intercept_}')

这段程序首先创建了一个随机分布的数据集，并设置了已知的真实斜率和截距来验证最终得到的结果是否接近预期值。接着定义了`LinearRegression()`类的一个实例化对象来进行拟合操作。最后打印出了所学得的最佳匹配直线的相关参数——斜率（coefficients）以及截距(intercept)[^2]。