x=2t-t^2,y=2t^2-t^3, 其中 0<=t<=2,积分面积怎么求?
时间: 2023-03-20 11:02:50 浏览: 153
我们可以将 x 和 y 分别表示为 t 的函数,即 x = f(t) = 2t - t^2,y = g(t) = 2t^2 - t^3。然后,我们可以在 t 轴上绘制出 t 的范围,即 0 <= t <= 2,并将其转化为坐标系中的点。接下来,我们可以绘制出由 x 和 y 所表示的函数图形,并在这些图形之间找到面积。使用积分方法可以计算该面积。
因此,根据二元函数的积分面积公式,该积分面积可表示为 ∫[0,2] [g(t) - f(t)]dt,其中 g(t) 和 f(t) 分别是 y 和 x 的函数。我们将该积分范围分解成许多小矩形,并对每个小矩形计算面积,然后将所有小矩形的面积相加,得出积分面积。
具体计算方法请参考高等数学的积分公式和方法。
相关问题
x=2t-t^2,y=2t^2-t^3, 其中 0<=t<=2 的积分怎么求?
根据题意,x=2t-t^2,y=2t^2-t^3,可以得到dx=(2-2t)dt,dy=(4t-3t^2)dt。
因此,积分可以表示为:∫(0到2) (2-2t)(4t-3t^2)dt。
对此进行展开和化简得到:∫(0到2) (8t-6t^2-8t^2+6t^3)dt。
继续化简可得:∫(0到2) (6t^3-14t^2+8t)dt。
对此进行不定积分,得到:t^4-(14/3)t^3+4t^2+C。
将上下限代入可得:2^4-(14/3)*2^3+4*2^2-0^4+(14/3)*0^3-4*0^2=32/3。
因此,所求的积分结果为32/3。
X(t)=3t^4-2t^2+6的单边拉普拉斯变换步骤
单边拉普拉斯变换的定义为:$$ F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt $$
因此,X(t)的单边拉普拉斯变换步骤如下:
$$ F(s) = \int_0^\infty e^{-st}(3t^4-2t^2+6)dt $$
$$ = 3\int_0^\infty e^{-st}t^4dt - 2\int_0^\infty e^{-st}t^2dt + 6\int_0^\infty e^{-st}dt $$
我们可以使用拉普拉斯变换的表格来求解每一个积分项:
$$ \int_0^\infty e^{-st}t^4dt = \frac{4!}{s^5} $$
$$ \int_0^\infty e^{-st}t^2dt = \frac{2!}{s^3} $$
$$ \int_0^\infty e^{-st}dt = \frac{1}{s} $$
将上述结果代入原式得:
$$ F(s) = 3 \cdot \frac{4!}{s^5} - 2 \cdot \frac{2!}{s^3} + 6 \cdot \frac{1}{s} $$
化简后,得到:
$$ F(s) = \frac{72}{s^5} - \frac{4}{s^3} + \frac{6}{s} $$
因此,X(t)的单边拉普拉斯变换为:
$$ X(s) = \frac{72}{s^5} - \frac{4}{s^3} + \frac{6}{s} $$
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