动态规划完全背包问题

动态规划是一种常用的算法设计技巧，常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。完全背包问题就是一个经典的动态规划问题，它是指在有限的物品中选取若干件放入一个容量为V的背包中，每种物品都有无限件可用，求背包能够装下的最大价值。

完全背包问题可以使用动态规划来解决，具体地，我们可以使用一个二维数组dp来记录状态。设dp[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值，则有以下状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])

其中，w[i]表示第i件物品的重量，v[i]表示第i件物品的价值。状态转移方程的含义是，对于第i件物品，我们可以选择不放入背包中，此时背包的最大价值为dp[i-1][j]；或者我们可以选择放入背包中，此时背包的最大价值为dp[i][j-w[i]]+v[i]，因为在选择第i件物品放入背包时，我们还需要考虑是否要放入第i件物品的多个副本，所以这里使用了完全背包的特性。

最终的结果即为dp[N][V]，其中N表示物品数量，V表示背包容量。

相关问题

动态规划 完全背包问题

完全背包问题是指一个背包容量为V，有n种不同的物品，每种物品有无限个，第i种物品的重量是wi，价值是vi。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。这里的物品可以重复选取，不同于01背包问题。

动态规划求解完全背包问题的状态转移方程为：

f(i, j) = max{f(i-1, j-k*wi) + k*vi | 0<=k<=j/wi}

其中，f(i, j)表示前i种物品，背包容量为j时的最大价值。每种物品可以选择0到j/wi个，分别计算出选择不同数量时的最大价值，并取其中最大的值。

时间复杂度为O(n*V^2)，空间复杂度为O(n*V)。

动态规划完全背包问题c语言代码

动态规划的完全背包问题是经典的动态规划问题之一，其思路是将问题分解为若干个子问题，利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。下面是完全背包问题的c语言代码实现：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 100
#define MAX_V 1000

int n, V;
int w[MAX_N], v[MAX_N];
int dp[MAX_N + 1][MAX_V + 1];

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

void solve() {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= V; j++) {
            for (int k = 0; k * w[i] <= j; k++) {
                dp[i + 1][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - k * w[i]] + k * v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n][V]);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &V);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    }
    solve();
    return 0;
}