动态规划算法编写完全背包问题

完全背包问题是经典的动态规划问题之一。这里给出完全背包问题的动态规划算法实现：

1. 定义状态

设 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包中所获得的最大价值。

2. 状态转移方程

对于每个物品 $i$，考虑将其放入背包中或不放入背包中两种情况：

- 不放入背包中：此时 $f(i,j)=f(i-1,j)$，即前 $i-1$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包中所获得的最大价值。
- 放入背包中：此时 $f(i,j)=f(i,j-w_i)+v_i$，即前 $i$ 个物品放入容量为 $j-w_i$ 的背包中所获得的最大价值再加上物品 $i$ 的价值 $v_i$。

综上所述，状态转移方程为：

$$f(i,j)=\max\{f(i-1,j),f(i,j-w_i)+v_i\}$$

3. 初始化

当背包容量为 $0$ 时，无论放入哪些物品，价值都为 $0$。因此，$f(i,0)=0$。

4. 算法实现

根据上述状态转移方程和初始化条件，可以编写完全背包问题的动态规划算法实现：

def knapsack_complete(w, v, c):
    n = len(w)
    f = [[0] * (c + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            f[i][j] = f[i - 1][j]
            if w[i - 1] <= j:
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - w[i - 1]] + v[i - 1])
    return f[n][c]

其中，$w$ 和 $v$ 分别表示物品的重量和价值，$c$ 表示背包的容量。首先定义一个 $n+1$ 行、$c+1$ 列的二维列表 $f$，并将其所有元素初始化为 $0$。然后，按照上述状态转移方程进行计算，最终返回 $f(n,c)$ 即可得到最大价值。