采用C++实现置换流水车间调度问题数学模型,采用NEH启发式算法,给出产生解的算子或步骤。

置换流水车间调度问题是一种NP难问题，因此采用启发式算法求解是比较常见的方法之一。NEH启发式算法是一种经典的启发式算法，下面给出其产生解的算子或步骤。

1. 初始化：将作业按照其总加工时间从大到小排序，得到一个初始调度序列。

2. 插入操作：对于当前调度序列，将新的作业插入到每个位置上，计算每个插入位置的调度序列的总加工时间，选择最小的一个插入位置并插入作业。

3. 循环迭代：重复执行插入操作，直到得到满意的解或达到预设的迭代次数。

NEH启发式算法的关键在于插入操作，具体实现可以采用贪心策略，即每次选择能够使调度序列总加工时间最小的插入位置进行插入。同时，为了避免陷入局部最优解，可以在每次迭代时随机打乱作业的顺序，重新进行初始化和插入操作。

相关问题

采用C++实现置换流水车间调度问题数学模型,采用NEH启发式算法最小化最大完工时间,给出你设计的编码和解码描述，并举例说明。给出产生解的算子步骤。

一、数学模型

假设有 $m$ 台机器和 $n$ 个工件，每个工件需要经过 $m$ 台机器，每台机器的处理时间为 $p_{ij}$，其中 $i$ 表示第 $i$ 个工件，$j$ 表示第 $j$ 台机器。那么问题就是如何安排每个工件在每台机器上的加工顺序，使得最大完工时间（makespan）最小。

二、NEH启发式算法

NEH算法是一种启发式算法，它的主要思想是将所有工件按照某种规则排序，然后依次插入到初始序列中，每次插入后计算最大完工时间，最终得到最优解。

1. 排序

首先需要对所有工件进行排序，通常采用工件加工时间之和的非降序排列。

2. 初始序列

将排序后的第一个工件插入到空序列中，得到初始序列。

3. 插入

依次将其他工件插入到初始序列中，每次插入后计算最大完工时间，并记录最小值。

4. 返回结果

返回最小的最大完工时间和对应的序列。

三、编码和解码

编码：将一个解表示为一个长度为 $n$ 的排列 $P$，其中 $P_i$ 表示第 $i$ 个工件在序列中的位置。

解码：对于一个给定的排列 $P$，可以通过按照 $P$ 中的顺序依次安排每个工件在每台机器上的加工顺序，从而得到一个完整的调度方案。然后可以计算该调度方案的最大完工时间。

举例说明：

假设有 $4$ 台机器和 $6$ 个工件，每个工件需要依次经过 $4$ 台机器的加工，每台机器的处理时间如下表所示：

| 机器 | 时间 |
| ---- | ---- |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 5 |

工件加工时间如下表所示：

| 工件 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 7 |
| 2 | 5 | 4 | 3 | 2 | 6 | 1 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 3 | 2 |
| 4 | 2 | 7 | 5 | 4 | 6 | 3 |

1. 排序

按照工件加工时间之和的非降序排列，得到排序后的工件序列为 $1, 2, 3, 4$。

2. 初始序列

将排序后的第一个工件 $1$ 插入到空序列中，得到初始序列 $1$。

3. 插入

依次将其他工件插入到初始序列中，每次插入后计算最大完工时间，并记录最小值。

- 将工件 $2$ 插入到序列 $1$ 的前面，得到序列 $2, 1$，最大完工时间为 $28$。
- 将工件 $3$ 插入到序列 $2, 1$ 的前面，得到序列 $3, 2, 1$，最大完工时间为 $36$。
- 将工件 $4$ 插入到序列 $3, 2, 1$ 的前面，得到序列 $4, 3, 2, 1$，最大完工时间为 $43$。

4. 返回结果

得到最小的最大完工时间为 $43$，对应的序列为 $4, 3, 2, 1$。

四、产生解的算子步骤

在NEH算法中，产生解的算子是插入算子。具体步骤如下：

- 将一个工件插入到序列中的某个位置。
- 计算新的最大完工时间。

然后对所有可能的插入位置进行遍历，选择能够使最大完工时间最小的插入位置。

采用NEH启发式算法最小化最大完工时间。

NEH启发式算法是一种经典的贪心算法，用于解决流水线调度问题。最小化最大完工时间也是流水线调度问题的一个目标。以下是NEH启发式算法的步骤：

1. 将所有作业按照加工时间的非降序排列
2. 将前两个作业分别安排在两个机器上，并计算出每个机器的完工时间
3. 逐个将剩余作业插入到各个位置中，每次插入后计算出每个机器的完工时间，选择最小的完工时间
4. 重复3直到所有作业都被插入

在NEH启发式算法中，每次插入作业时只考虑当前状态下的最优解，不考虑未来的影响。因此，NEH启发式算法并不保证获得全局最优解，但通常能够得到一个较好的局部最优解。

对于最小化最大完工时间的流水线调度问题，NEH启发式算法可以通过在步骤3中选择最小的完工时间来实现。具体地说，对于每个插入位置，计算出将该作业插入该位置后，每个机器的完工时间。然后选择最大的机器完工时间作为本次插入的最小完工时间，直到所有作业都被插入。最终的最大完工时间即为所有机器的完工时间中的最大值。