逻辑回归模型的工作原理

逻辑回归模型是一种用于二分类问题的机器学习算法，其本质是一个线性分类器。逻辑回归模型的基本思想是将输入特征通过一个线性函数进行加权和，然后通过一个sigmoid函数将结果映射到[0,1]之间的概率值，从而用于分类。

具体来说，对于一个二分类问题，对于每个样本 $x_i$，逻辑回归模型会计算其线性加权和，即：

$$z_i = w_0 + w_1x_{i1} + w_2x_{i2} + ... + w_mx_{im}$$

其中，$w_0$ 为偏置项，$w_1,w_2,...,w_m$ 是模型的权重参数，$x_{i1},x_{i2},...,x_{im}$ 是第 $i$ 个样本的 $m$ 个特征值。将计算得到的 $z_i$ 带入sigmoid函数 $g(z_i)$ 中，得到样本 $x_i$ 属于正类的概率估计值：

$$p_i = g(z_i) = \frac{1}{1+e^{-z_i}}$$

其中，$e$ 是自然常数。当 $p_i>0.5$ 时，逻辑回归模型将样本 $x_i$ 分类为正类，否则分类为负类。

逻辑回归模型的参数估计通常使用极大似然估计法进行求解。假设训练集中有 $n$ 个样本，将所有样本的概率估计值连乘起来，得到似然函数：

$$L(w) = \prod_{i=1}^{n}p_i^{y_i}(1-p_i)^{1-y_i}$$

其中，$y_i$ 是样本 $x_i$ 的真实标签，当 $y_i=1$ 时，$p_i$ 表示 $x_i$ 属于正类的概率，当 $y_i=0$ 时，$1-p_i$ 表示 $x_i$ 属于负类的概率。对似然函数取对数，得到对数似然函数：

$$\log L(w) = \sum_{i=1}^{n}\left(y_i\log p_i + (1-y_i)\log(1-p_i)\right)$$

逻辑回归模型的损失函数通常使用对数似然函数的相反数，即负对数似然函数（Negative Log-Likelihood）：

$$J(w) = -\log L(w) = -\sum_{i=1}^{n}\left(y_i\log p_i + (1-y_i)\log(1-p_i)\right)$$

将损失函数带入梯度下降算法中进行求解，即可得到逻辑回归模型的参数估计值 $w$。

总之，逻辑回归模型是一种简单而有效的二分类算法，其基本思想是通过线性加权和和sigmoid函数将样本映射到[0,1]之间的概率值，从而进行分类。逻辑回归模型的参数估计通常使用极大似然估计法进行求解，其损失函数为负对数似然函数。