贝塞尔曲线 路径规划

### 贝塞尔曲线在路径规划中的应用

贝塞尔曲线作为一种参数化曲线，在路径规划中广泛应用，尤其是在需要平滑过渡和灵活调整的情况下。这类曲线由多个控制点定义，能够创建出既复杂又可控的轨迹。

#### 方法概述

对于路径规划而言，贝塞尔曲线提供了两种主要优势：

- **简化表达**：通过少量的关键点即可描述复杂的运动路线[^1]。
- **易于修改**：只需改变几个特定位置上的节点就能轻松调整整个路径形态[^2]。

具体来说，当应用于机器人或自动驾驶车辆等领域时，可以先设定起点与终点作为首尾两个端点；再根据实际需求增加中间若干个导向性的辅助点——即所谓的“控制点”。这些额外加入的位置并不位于最终形成的曲线上面，而是用来引导生成过程的方向感以及弯曲程度。

#### 实现方式

为了实现基于贝塞尔曲线的路径规划算法，通常会采用如下策略之一：

##### 1. 使用预设模板

预先计算好一系列不同类型的标准化贝塞尔函数形式（比如线性、二次方程式的），然后依据任务场景选取最合适的模式来进行匹配组合。这种方法适合于那些对实时性能要求不高但希望快速部署的应用场合。

##### 2. 动态构建自适应模型

针对更加动态变化的任务环境，则可以通过在线学习机制不断更新优化当前使用的贝塞尔多项式系数集。此方案允许系统根据最新的感知数据即时作出反应，从而更好地应对未知挑战。

#### Python 示例代码

下面给出一段简单的Python程序片段展示如何利用`scipy.interpolate.BSpline`库来绘制一条三阶(立方)贝塞尔样条，并模拟其可能被用作移动物体导航线路的一部分:

import numpy as np
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt


def bezier_path(control_points, num=100):
    t = np.linspace(0, 1, num=num)
    spline = interpolate.BSpline(t, control_points.T, k=len(control_points)-1, extrapolate=False)
    path = spline(t).T
    
    return path


control_points = np.array([[0., 0.], [2., 4.], [-1., 7.], [5., 9.]])
path = bezier_path(control_points)

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(*zip(*control_points), marker='o', color="red", linestyle="--")  # 绘制控制点及其连线
plt.plot(path[:, 0], path[:, 1])                                           # 显示拟合后的贝塞尔曲线
plt.title('Cubic Bezier Curve Example')
plt.show()

这段脚本首先导入必要的包，接着定义了一个名为`bezier_path()`的功能函数接收一组二维坐标列表作为输入参数代表各个阶段的目标方位。之后调用了SciPy内置工具箱里的BSpline类完成插值运算得到连续光滑的变化趋势图象最后借助Matplotlib可视化呈现出来便于观察理解。