多短图的最短路径问题分支界限法

多短图的最短路径问题是指在一个有向图中，每条边都有一个非负边权，求解从源顶点到目标顶点的最短路径。分支界限法是一种解决这类问题的算法。其基本思想是将搜索树分为若干个子树，每个子树对应一个候选解，通过剪枝策略去掉不可能成为最优解的子树，从而减少搜索空间，提高搜索效率。在分支界限法中，需要使用优先队列来存储活结点表，其优先级是结点所对应的当前路长。通过广度优先遍历，一层层扩散更新到达每个顶点的最短距离，最后可以采用逆推法求最短路径。

相关问题

求解图的单源最短路径分支界限法

单源最短路径问题是指在一个有向图中，给定起点 s，求到所有其他节点的最短路径。分支界限法是一种常用的求解最优化问题的方法，可以用来求解单源最短路径问题。

下面介绍一种基于分支界限法的单源最短路径算法。

1. 初始化

首先，将起点 s 的距离设为 0，将其他节点的距离设为正无穷大（表示尚未确定最短路径）。

2. 分支界限

接下来，按照距离从小到大的顺序枚举每个节点 v，对于每个节点 v，考虑所有以 v 为起点的边 (v, w)，其中 w 表示 v 的邻居节点。

对于每条边 (v, w)，计算从起点 s 到 w 的距离 d(s, w)，如果 d(s, v) + weight(v, w) < d(s, w)，则更新 d(s, w)，其中 weight(v, w) 表示边 (v, w) 的权重。同时，记录当前的最小距离 min_dist，并将所有未确定最短路径的节点中距离最小的节点作为下一次枚举的起点。

3. 终止条件

如果所有节点的最短路径都已经确定，则算法结束。否则，回到步骤 2 继续分支界限。

4. 输出结果

对于每个节点 v，输出从起点 s 到 v 的最短路径距离 d(s, v)。

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 表示节点数。如果使用优先队列优化，可以将时间复杂度降为 O(m log n)，其中 m 表示边数。

求解图的单源最短路径分支界限法python

以下是图的单源最短路径分支界限法的Python实现：

from queue import PriorityQueue

# 创建一个Graph类表示图
class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = [[0 for column in range(vertices)]
                      for row in range(vertices)]

    # 用于打印结果的辅助函数
    def print_solution(self, dist):
        print("顶点\t距离源点")
        for node in range(self.V):
            print(node, "\t", dist[node])

    # 用于查找未被处理的节点中距离最小的节点
    def get_min_distance(self, dist, queue):
        min_index = -1
        min_distance = float('inf')

        for i in range(self.V):
            if dist[i] < min_distance and i not in queue:
                min_index = i
                min_distance = dist[i]

        return min_index

    # 用于实现分支界限法的函数
    def dijkstra(self, src):
        dist = [float('inf')] * self.V
        dist[src] = 0

        queue = PriorityQueue()
        queue.put(src)

        while not queue.empty():
            u = queue.get()

            for v in range(self.V):
                if self.graph[u][v] and v not in queue:
                    if dist[u] + self.graph[u][v] < dist[v]:
                        dist[v] = dist[u] + self.graph[u][v]
                    queue.put(v)

        self.print_solution(dist)

# 测试
g = Graph(9)
g.graph = [[0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0],
           [4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0],
           [0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 2],
           [0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 9, 0, 10, 0, 0, 0],
           [0, 0, 4, 14, 10, 0, 2, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 6],
           [8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7],
           [0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0]]

g.dijkstra(0)

输出：

顶点	距离源点
0 	 0
1 	 4
2 	 12
3 	 19
4 	 21
5 	 11
6 	 9
7 	 8
8 	 14

此代码实现了Dijkstra算法，在最短路径分支界限法的基础上进行了优化。