单源最短路径分支限界法

单源最短路径分支限界法（Branch and Bound）是一种解决单源最短路径问题的算法。该算法通过对问题的搜索空间进行剪枝，来减少问题的搜索时间。

算法步骤如下：

1. 初始化一个优先队列，把源点加入队列，并设置源点到自身的距离为0。

2. 从队列中取出距离源点最近的节点，并对其所有邻居进行松弛操作。如果某个邻居的距离被更新，就把它加入队列。

3. 重复步骤2，直到队列为空或者找到了终点。

4. 如果队列为空，说明没有到达终点的路径，算法结束。如果找到了终点，返回到源点的最短路径。

5. 在每次执行步骤2之前，根据当前路径长度和到终点的估计距离，计算一个界限。如果当前路径长度加上到终点的估计距离大于已经找到的最短路径长度，就剪枝，不再继续搜索该路径。

该算法的时间复杂度为O(b^d)，其中b是分支因子，d是最短路径长度。在分支因子较小的情况下，该算法能够在较短的时间内找到最短路径。

相关问题

单源最短路径分支限界法代码

以下是单源最短路径分支限界法的 C++ 代码，其中使用了 STL 中的优先队列（priority_queue）：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#define INF 1e9

using namespace std;

struct Edge {
    int to, weight;
    Edge(int _to, int _weight) : to(_to), weight(_weight) {}
};

struct Node {
    int vertex, cost;
    Node(int _vertex, int _cost) : vertex(_vertex), cost(_cost) {}

    bool operator<(const Node& other) const {
        return cost > other.cost;
    }
};

void shortestPath(vector<vector<Edge>>& graph, int start) {
    int n = graph.size();
    vector<int> dist(n, INF);
    dist[start] = 0;

    priority_queue<Node> pq;
    pq.push(Node(start, 0));

    while (!pq.empty()) {
        Node cur = pq.top();
        pq.pop();

        int u = cur.vertex;
        int cost = cur.cost;

        if (cost > dist[u]) {
            continue;
        }

        for (int i = 0; i < graph[u].size(); i++) {
            Edge& e = graph[u][i];

            if (dist[u] + e.weight < dist[e.to]) {
                dist[e.to] = dist[u] + e.weight;
                pq.push(Node(e.to, dist[e.to]));
            }
        }
    }

    // 输出最短路径
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << "Start: " << start << " End: " << i << " Distance: " << dist[i] << endl;
    }
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<Edge>> graph(n);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        graph[u].push_back(Edge(v, w));
    }

    shortestPath(graph, 0);

    return 0;
}

其中，`shortestPath` 函数实现了单源最短路径的分支限界算法，使用了优先队列来实现每次取出距起点最近的未访问节点。`dist` 数组记录了起点到每个节点的最短距离，初始化为无穷大，起点距离为 0。在遍历每个节点的邻居节点时，如果通过该邻居节点可以得到更短路径，则更新 `dist` 数组，并将该邻居节点加入优先队列。最后输出起点到每个节点的最短距离。

单源最短路径分支限界空间复杂度

根据引用所述，分支限界法是一种广度优先搜索的算法，用于解决最优化问题。在单源最短路径问题中，分支限界法可以用于求解最短路径。其空间复杂度取决于状态空间树的大小，即扩展结点的数量。在最坏情况下，状态空间树的大小为O(b^d)，其中b是每个结点的平均分支数，d是最大深度。因此，单源最短路径分支限界的空间复杂度为O(b^d)。