numpy求特征值，特征向量，正交标准化的特征向量

在Python的NumPy库中，计算矩阵的特征值和特征向量是非常常见的操作，这对于线性代数分析和数据处理很有帮助。以下是基本步骤：

1. **计算特征值**：
使用`numpy.linalg.eigvals()`函数可以计算方阵的单个特征值，如果需要整个对角元素组成的数组，则使用`numpy.linalg.eig()`返回一个包含特征值和特征向量的元组。

   import numpy as np
   matrix = np.array([[4, 1], [2, 3]])
   eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)

2. **计算特征向量**：
返回的`eigenvectors`是一个二维数组，每一列代表对应于给定特征值的一个特征向量。这些向量满足方程 `(A - λI) * v = 0`，其中 `A` 是矩阵，`λ` 是特征值，`v` 是特征向量。

3. **正交标准化的特征向量**：
理论上，特征向量并不总是正交的，但在实际应用中，我们可能会希望它们成为正交的。这通常通过 Gram-Schmidt 正交化过程完成。然而，NumPy默认返回的是归一化的特征向量（单位长度），而不是正交的。如果你想要完全正交的基（例如，用于PCA），你需要自己构建正交基或使用专门为此设计的库，如`scipy.linalg.orth()`。

from scipy.linalg import orth

# 对特征向量进行正交化
normalized_eigvecs = eigenvectors / np.linalg.norm(eigenvectors, axis=0)
orthogonal_eigvecs = orth(normalized_eigvecs)