动态完全图最小生成树
时间: 2023-11-12 14:52:25 浏览: 50
动态完全图最小生成树是指在一个无向完全图中,每次添加或删除一条边后,重新计算生成树的过程。其中,最小生成树是指在无向图中选择权值最小的边,使得图中的所有顶点都连通,并且不形成环。
对于动态完全图最小生成树的计算,可以使用Kruskal算法。Kruskal算法是一种贪婪方法的最小生成树算法。
具体步骤如下:
1. 将图中所有边按照权值进行非降序排列;
2. 初始化一个空的生成树;
3. 从图中所有边中选择可以构成最小生成树的边。选择权值最小的边,如果添加该边不会形成环,则将该边加入生成树中;如果添加该边会形成环,则舍弃该边;
4. 重复步骤3,直到生成树包含了所有的顶点(也就是生成树中的边数达到了顶点数减1)。
回答完问题后的相关问题如下:
相关问题:
1. 动态完全图最小生成树的时间复杂度是多少?
2. 如何通过Prim算法计算动态完全图的最小生成树?
3. 动态完全图最小生成树是否唯一?如果不唯一,如何找到所有的最小生成树?
相关问题
完全图的最小生成树算法
完全图是指图中任意两个顶点之间都有边相连的图。完全图的最小生成树算法有两种,分别是Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法
Prim算法是一种贪心算法,它的基本思想是从一个顶点开始,每次选择一个与当前生成树相邻的权值最小的顶点加入生成树中,直到所有顶点都被加入生成树为止。
具体实现步骤如下:
- 任选一个顶点作为起点,将其加入生成树中。
- 找到与当前生成树相邻的所有顶点,并计算它们与当前生成树的距离(即边权),选择其中距离最小的顶点加入生成树中。
- 重复上述步骤,直到所有顶点都被加入生成树为止。
下面是Prim算法的Python代码实现:
```python
def prim(graph):
# 初始化生成树和已访问的顶点集合
mst = []
visited = set()
# 任选一个顶点作为起点
start = list(graph.keys())[0]
visited.add(start)
# 循环直到所有顶点都被加入生成树为止
while len(visited) < len(graph):
# 计算与当前生成树相邻的所有顶点的距离
min_edge = None
for v in visited:
for w, weight in graph[v].items():
if w not in visited and (min_edge is None or weight < min_edge[2]):
min_edge = (v, w, weight)
# 将距离最小的顶点加入生成树中
mst.append(min_edge)
visited.add(min_edge[1])
return mst
```
2. Kruskal算法
Kruskal算法也是一种贪心算法,它的基本思想是将所有边按照权值从小到大排序,然后依次加入生成树中,如果加入某条边会形成环,则不加入该边。
具体实现步骤如下:
- 将所有边按照权值从小到大排序。
- 依次加入每条边,如果加入某条边会形成环,则不加入该边。
- 重复上述步骤,直到所有顶点都被加入生成树为止。
下面是Kruskal算法的Python代码实现:
```python
def kruskal(graph):
# 初始化生成树和边集合
mst = []
edges = []
for v in graph:
for w, weight in graph[v].items():
edges.append((v, w, weight))
edges.sort(key=lambda x: x[2])
# 初始化并查集
parent = {v: v for v in graph}
# 循环直到所有顶点都被加入生成树为止
for edge in edges:
v, w, weight = edge
# 判断是否形成环
root_v = find(parent, v)
root_w = find(parent, w)
if root_v != root_w:
mst.append(edge)
parent[root_v] = root_w
return mst
def find(parent, v):
while parent[v] != v:
v = parent[v]
return v
```
完全图K6的最小生成树是
完全图K6有15条边,最小生成树是包含5条边的树,使得这5条边连接了K6的所有6个顶点,并且这5条边的权值之和最小。
根据Kruskal算法或Prim算法可以求得完全图K6的最小生成树,其中Kruskal算法将边按照权值从小到大排序,然后逐个加入生成树,避免形成环;Prim算法则从一个起始顶点开始,每次选择一个距离已经确定的集合中最近的顶点加入生成树。
这里给出一个使用Kruskal算法求解完全图K6最小生成树的示例:
首先按照边权值从小到大排序得到如下15条边:
```
a-b: 1
a-c: 2
a-d: 3
a-e: 4
a-f: 5
b-c: 6
b-d: 7
b-e: 8
b-f: 9
c-d: 10
c-e: 11
c-f: 12
d-e: 13
d-f: 14
e-f: 15
```
然后依次加入边,直到生成一颗包含6个顶点和5条边的最小生成树:
```
a-b: 1
a-c: 2
b-d: 7
c-e: 11
d-f: 14
```