使用有限差分法求解欧式期权价格,并与解析解比较
时间: 2024-05-26 08:15:27 浏览: 19
欧式期权的定价可以使用Black-Scholes模型或Binomial Tree模型等方法进行解析求解。但是,如果我们想要使用数值方法求解欧式期权的价格,可以使用有限差分法。
有限差分法是将空间连续域离散化,然后使用差分表示微分,将微分方程转化为差分方程。对于欧式期权,我们可以使用有限差分法将Black-Scholes方程离散化。
假设我们需要求解的是一个欧式看涨期权,其标的物价格为S,期权行权价格为K,无风险利率为r,期权到期时间为T,波动率为σ。 Black-Scholes方程可以写成:
$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$
其中V表示期权价格。现在我们将空间连续域离散化,将时间t和标的物价格S分别离散化为时间步长Δt和价格步长ΔS,令V(i,j)表示在第i个时间步长和第j个价格步长时的期权价格,则上式可以离散化为:
$\frac{V_{i,j+1} - V_{i,j}}{\Delta S} - \frac{1}{2}\sigma^2j^2\frac{V_{i,j+1} - 2V_{i,j} + V_{i,j-1}}{\Delta S^2} - rj\frac{V_{i,j+1} - V_{i,j-1}}{2\Delta S} - rV_{i,j} + \frac{V_{i+1,j} - V_{i,j}}{\Delta t} = 0$
其中j表示标的物价格在第j个价格步长。可以看到,这是一个差分方程,已知V(i,j-1)、V(i,j)和V(i+1,j),可以通过此公式计算出V(i,j+1)。由于期权到期时期权价格已知,我们可以将V(T,j)设为max(S(j) - K, 0)。
使用上述公式,我们可以通过迭代计算求解期权价格。最终的期权价格为V(0,0),其中0表示时间和价格的初始值。将使用有限差分法求解得到的期权价格与解析解进行比较,可以评估使用此方法的精度。