使用有限差分法求解的Black-Scholes方程
时间: 2024-06-07 07:07:58 浏览: 25
Black-Scholes方程描述了欧式期权的价格变化,其偏微分方程形式为:
$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0$$
其中,$V$表示期权价格,$S$表示标的资产价格,$\sigma$为标的资产的波动率,$r$为无风险利率,$t$为时间。为了求解该方程,可以使用有限差分法。
首先,将$S$和$t$分别离散化,得到:
$$S_i = i\Delta S, \quad i=0,1,2,...,N$$
$$t_j = j\Delta t, \quad j=0,1,2,...,M$$
其中,$\Delta S$和$\Delta t$分别为$S$和$t$的离散化步长,$N$和$M$分别为$S$和$t$的离散化格点数。
然后,可以使用中心差分法对Black-Scholes方程进行离散化:
$$\frac{V_{i,j+1}-V_{i,j}}{\Delta t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_i^2 \frac{V_{i+1,j}-2V_{i,j}+V_{i-1,j}}{\Delta S^2}+rS_i\frac{V_{i+1,j}-V_{i-1,j}}{2\Delta S}-rV_{i,j}=0$$
将该式中的$V_{i,j+1}$移项可得:
$$V_{i,j+1} = V_{i,j}+\frac{1}{2}\sigma^2S_i^2\frac{\Delta t}{\Delta S^2}(V_{i+1,j}-2V_{i,j}+V_{i-1,j})+\frac{1}{2}rS_i\frac{\Delta t}{\Delta S}(V_{i+1,j}-V_{i-1,j})-r\Delta t V_{i,j}$$
根据期权的边界条件,可以得到:
$$V_{0,j} = 0, \quad V_{N,j} = NS_N-K e^{-r(T-t_j)}, \quad V_{i,M} = \max(S_i-K,0)$$
其中,$K$为期权的行权价格,$T$为期权到期时间。
最后,使用上述离散化的方程迭代求解,即可得到期权的价格。
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