对以下非线性系统进行线性化\dot{x}_{1}=x_{2}^{2}\quad \dot{x}_{2}=u

对于非线性系统$\dot{x}_{1}=x_{2}^{2}, \dot{x}_{2}=u$，我们可以对其进行泰勒展开，然后取其一阶项进行线性化。

假设$x_2$处于一个平衡点$x_{2}^{*}$，则有$x_{2}=x_{2}^{*}+\delta x_{2}$，其中$\delta x_{2}$表示扰动值。则有：

$\dot{x}_{1}=\left(x_{2}^{*}+\delta x_{2}\right)^{2}=x_{2}^{* 2}+2 x_{2}^{*} \delta x_{2}+\delta x_{2}^{2}$

$\dot{x}_{2}=u$

对上式中的$\delta x_{2}^{2}$进行忽略，得到线性化后的系统：

$\delta \dot{x}_{1}=2 x_{2}^{*} \delta x_{2}$

$\delta \dot{x}_{2}=0$

因此，线性化后的系统可以表示为$\delta \dot{x}=Ax$，其中$A=\begin{bmatrix} 0 & 2 x_{2}^{*} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$。

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以下是使用一般迭代法求解非线性方程x^3+4*x^2-10=0的根的Matlab程序：

% 定义迭代函数
function y = g(x)
    y = (10 - 4*x^2)^(1/3);
end

% 定义初始值和误差限
x0 = 1; % 初始值
epsilon = 1e-6; % 误差限

% 迭代计算
x = x0;
while abs(x - g(x)) > epsilon
    x = g(x);
end

% 输出结果
root = x;
disp(['The root of the equation x^3+4*x^2-10=0 is: ', num2str(root)]);

X_poly_val = polyFeatures(Xval, p)

这行代码的作用是使用多项式特征扩展函数 `polyFeatures` 对验证集数据 `Xval` 进行特征扩展，其中 `p` 是指定的多项式次数。特征扩展可以将原始特征 $X$ 转换成更高次项的多项式特征，例如将 $X$ 扩展为 $[X, X^2, X^3, ..., X^p]$，这可以更好地拟合非线性模型。`polyFeatures` 函数会将每列特征向量 $x$ 转换成一个包含 $p$ 个元素的向量 $x_{poly}$，其中 $x_{poly}$ 的第 $i$ 个元素为 $x$ 的第 $i$ 次幂。最后，函数返回扩展后的验证集特征矩阵 `X_poly_val`。