在运行深度优先搜索算法的同时，对有向图的弧进行分类。实现深度优先搜索函数dfs（adj_matrix），该函数以有向图的邻接矩阵为输入，返回四个列表——树弧、前弧、后弧和交叉弧的列表。每个弧（i，j）由一个Python元组（i，j）表示。

好的，下面是一个实现深度优先搜索并分类弧的Python函数：

def dfs(adj_matrix):
    # 初始化节点状态和时间戳
    n = len(adj_matrix)
    visited = [False] * n
    timestamp = 0
    
    # 定义四个弧的列表
    tree_edges = []
    forward_edges = []
    backward_edges = []
    cross_edges = []
    
    # 定义深度优先搜索函数
    def dfs_visit(node):
        nonlocal timestamp
        visited[node] = True
        timestamp += 1
        discover_time = timestamp
        
        # 遍历该节点的所有邻居节点
        for neighbor, arc_type in enumerate(adj_matrix[node]):
            if arc_type == 0:
                continue
            if not visited[neighbor]:
                # 树弧
                tree_edges.append((node, neighbor))
                dfs_visit(neighbor)
            elif visited[neighbor] and discover_time < timestamp:
                # 后弧
                backward_edges.append((node, neighbor))
            elif visited[neighbor] and discover_time > timestamp:
                # 前弧
                forward_edges.append((node, neighbor))
            else:
                # 交叉弧
                cross_edges.append((node, neighbor))
        
        timestamp += 1
    
    # 从每个未访问的节点开始深度优先搜索
    for node in range(n):
        if not visited[node]:
            dfs_visit(node)
    
    return tree_edges, forward_edges, backward_edges, cross_edges

该函数首先初始化节点状态和时间戳，并定义四个弧的列表。然后定义了深度优先搜索函数dfs_visit，该函数遍历当前节点的所有邻居节点，并根据节点状态和时间戳将弧分类。最后，从每个未访问的节点开始深度优先搜索，并返回四个弧的列表。