假设用于通信的电文由字符集 {a.b,c,d,e,f,g}中的字母构成，它们在电文中出现的频度分别为 {0.31，0.16, 0.10，0.08， 0.11， 0.20，0.04｝。 (1）为这7个字母设计哈夫曼编码。 (2）对这7个字母进行等长编码，至少需要几位进制数？哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩多少？

你的问题已经收到，现在开始回答：

(1) 根据哈夫曼编码的原理，我们需要先构建哈夫曼树，然后为每个字母赋予相应的编码。构建哈夫曼树的步骤如下：

- 将所有字母按照频度从小到大排序，得到 {d, g, c, e, f, b, a}。
- 取出频度最小的两个字母 d 和 g，合并成一个节点，频度为 0.04+0.20=0.24，得到如下新的列表 {c, e, f, b, a, dg}。
- 再次取出频度最小的两个字母 c 和 e，合并成一个节点，频度为 0.10+0.11=0.21，得到如下新的列表 {f, b, a, dg, ce}。
- 以此类推，最后得到如下的哈夫曼树：

       *
     /   \
    *     ce
   / \
  *   dg
 / \
f   b,a,c,e

- 对于每个字母，从根节点出发，向左走为 0，向右走为 1，得到如下编码表：

a: 111
b: 110
c: 00
d: 1010
e: 01
f: 100
g: 1011

(2) 如果对这 7 个字母进行等长编码，每个字母需要用 3 位二进制数表示。因此，总共需要 $7\times3=21$ 位二进制数。而如果使用哈夫曼编码，每个字母的编码长度不同，但是总的编码长度肯定比等长编码短。计算出来哈夫曼编码的总长度为：

$0.31\times3+0.16\times3+0.10\times2+0.08\times3+0.11\times3+0.20\times2+0.04\times4=2.32$

因此，哈夫曼编码比等长编码使电文总长压缩了：

$\frac{21-2.32}{21}\times100\%\approx89\%$。

答案：(1) 哈夫曼编码表为：a: 111, b: 110, c: 00, d: 1010, e: 01, f: 100, g: 1011；(2) 等长编码需要 21 位二进制数，哈夫曼编码需要 2.32 位二进制数，压缩率为 89%。