用C++算法实现Newton插值

牛顿插值法是一种常用的数值分析技术，用于通过已知数据点构造多项式函数的近似。在C++中，你可以使用数组来存储数据点，然后运用迭代的方式计算插值系数。以下是简单的步骤：

1. **初始化**：首先，你需要一个二维数组`data`存储(x, y)对的数据点，以及变量`degree`表示你想要构建的插值多项式的最高次幂。

2. **构建基础**：对于一次、二次等低阶插值，可以直接使用直线方程或抛物线方程。例如，一次插值就是y = a * x + b，其中a和b可以通过第一个和第二个点计算得出。

3. **递归公式**：对于更高阶的插值，可以利用牛顿插值公式，它涉及到前n个点的插值多项式。基本公式是 P_n(x) = P_{n-1}(x) - [P_{n-1}'(ξ)] / [x - ξ] * (x - x_i)，这里的P_n'(ξ)是P_n在某个ξ处的导数，ξ在当前x_i和下一个x_j之间。

4. **循环实现**：使用一个for循环遍历所有数据点（除了最后一个），在每次迭代中更新当前插值多项式的系数。当达到所需次数或逼近误差足够小时，停止迭代。

5. **返回结果**：最终得到的插值多项式可以在给定的新x值上进行评估，计算出对应的y值。

#include <vector>
using namespace std;

// 用于存储插值多项式的系数
double coefficients[degree+1];

void newtonInterpolation(vector<pair<double, double>>& data, int degree) {
    // ... 实现上述步骤
}

double evaluatePolynomial(double x) {
    // 计算并返回插值后的y值
}

int main() {
    vector<pair<double, double>> data = {...}; // 输入数据点
    int degree = ...; // 插值的次数
    coefficients = newtonInterpolation(data, degree);
    double x_new = ...; // 需要插值的x值
    double y_new = evaluatePolynomial(x_new);
    return 0;
}