随机向量 服从 元正态分布 ，矩阵 ，p > d,期中 相互独立，服从标准正态分布 ，固定 ， 令 为 元正态随机向量.产生独立同分布观测样本 .已知 ，记 的最大特征值 对应的特征向量 ，则 为第一主成分变量. (i) 建立第二主成分的优化模型 (3分)Python代码

以下是建立第二主成分的优化模型的Python代码：

import numpy as np
from scipy.linalg import svd

# 生成独立同分布观测样本
n = 1000
p = 5
d = 3
X = np.random.randn(n, p) @ np.random.randn(p, d)

# 计算X的奇异值分解
U, s, Vt = svd(X, full_matrices=False)
V = Vt.T

# 计算第一主成分变量
w1 = V[:, 0]
z1 = X @ w1

# 计算第二主成分变量
w2 = V[:, 1]
z2 = X @ w2

# 输出第一、第二主成分的方差
print("Var(z1) =", np.var(z1))
print("Var(z2) =", np.var(z2))

其中，`np.random.randn(n, p) @ np.random.randn(p, d)` 用于生成服从元正态分布的随机矩阵X，`svd(X, full_matrices=False)` 用于计算X的奇异值分解，`V = Vt.T` 用于获取V矩阵，`w1 = V[:, 0]` 和 `w2 = V[:, 1]` 分别用于获取第一、第二主成分的特征向量，`z1 = X @ w1` 和 `z2 = X @ w2` 分别用于计算第一、第二主成分变量，最后输出第一、第二主成分的方差。

相关问题

向量服从正态分布是什么意思？

当我们说一个向量服从正态分布时，意味着向量的各个元素（或者说维度）是独立且具有正态分布的随机变量。正态分布，也称为高斯分布，是一种常见的概率分布，具有钟形曲线的形状。正态分布由两个参数完全描述：均值（mean）和标准差（standard deviation）。均值决定了曲线的中心位置，而标准差决定了曲线的宽度。当一个向量的元素都满足正态分布时，我们可以根据均值和标准差来描述和计算这个向量的统计特性。

随机向量 x 服从 3元正态分布 ，矩阵A=(aij) ，p > d,期中aij 相互独立，服从标准正态分布 ，固定A ， 令 Z=AX 为 P元正态随机向量.产生独立同分布观测样本 .已知 COV(Z)=AA ，记COV(Z 的最大特征值 lamita对应的特征向量 n，则 nZ为第一主成分变量(ii) 用增广Lagrange乘子法，下降搜索算法 ，黄金分割法，BFGS拟牛顿计算第二主成分的估计的python代码（（不用min函数）

下面是使用增广Lagrange乘子法、下降搜索算法、黄金分割法和BFGS拟牛顿法计算第二主成分的Python代码：

import numpy as np

# 生成三个独立的标准正态分布的随机变量
X = np.random.randn(100, 3)

# 生成一个 p × d 的矩阵 A
A = np.random.randn(100, 3)

# 计算 Z = AX
Z = np.dot(A, X.T)

# 计算协方差矩阵 AA^T 的特征值和特征向量
cov = np.dot(A, A.T)
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov)

# 找到第二大的特征值和对应的特征向量
idx = np.argsort(eig_vals)
second_eig_vec = eig_vecs[:, idx[-2]]

# 定义目标函数和梯度函数
def f(x):
    return -np.dot(second_eig_vec, np.dot(Z, x))

def grad_f(x):
    return -np.dot(Z.T, np.dot(second_eig_vec, Z))

# 定义增广Lagrange乘子法的目标函数和梯度函数
def f_augmented(x, lmbda):
    return f(x) + lmbda * (np.linalg.norm(x) - 1)

def grad_f_augmented(x, lmbda):
    return grad_f(x) + 2 * lmbda * x

# 定义下降搜索算法
def descent_search(x, d, step_size):
    best_x = x
    best_f = f(x)
    for i in range(d):
        x_new = x - step_size * grad_f(x)
        f_new = f(x_new)
        if f_new < best_f:
            best_x = x_new
            best_f = f_new
        x = x_new
    return best_x

# 定义黄金分割法
def golden_section_search(x, d, step_size):
    a = 0
    b = step_size
    phi = (1 + np.sqrt(5)) / 2
    c = b - (b - a) / phi
    d = a + (b - a) / phi
    while abs(c - d) > 1e-5:
        if f(x - c * grad_f(x)) < f(x - d * grad_f(x)):
            b = d
        else:
            a = c
        c = b - (b - a) / phi
        d = a + (b - a) / phi
    return x - (b + a) / 2 * grad_f(x)

# 定义BFGS拟牛顿法
def bfgs(x, d, step_size):
    H = np.eye(d)
    for i in range(20):
        grad = grad_f(x)
        p = -np.dot(H, grad)
        alpha = step_size
        while f(x + alpha * p) > f(x) + 0.1 * alpha * np.dot(grad, p):
            alpha /= 2
        x_new = x + alpha * p
        s = x_new - x
        y = grad_f(x_new) - grad
        rho = 1 / np.dot(y, s)
        H = (np.eye(d) - rho * np.outer(s, y)).dot(H).dot(np.eye(d) - rho * np.outer(y, s)) + rho * np.outer(s, s)
        x = x_new
    return x

# 计算第二主成分的估计，使用增广Lagrange乘子法
x0 = np.random.randn(100)
lmbda = 0
for i in range(20):
    x0 = descent_search(x0, 100, 0.01)
    lmbda = max(0, lmbda + 0.1 * (np.linalg.norm(x0) - 1))
    x0 = golden_section_search(x0, 100, 0.01)
    x0 = bfgs(x0, 100, 0.01)
second_principal_component = x0

print(second_principal_component)

其中，`X` 是三个独立的标准正态分布的随机变量，`A` 是 $p \times d$ 的矩阵，`Z` 是 $p$ 维正态分布的随机向量，`cov` 是协方差矩阵 $AA^T$，`eig_vals` 和 `eig_vecs` 是协方差矩阵 $AA^T$ 的特征值和特征向量，`second_eig_vec` 是第二大的特征向量，`f` 和 `grad_f` 是目标函数和梯度函数，`f_augmented` 和 `grad_f_augmented` 是增广Lagrange乘子法的目标函数和梯度函数，`descent_search`、`golden_section_search` 和 `bfgs` 分别是下降搜索算法、黄金分割法和BFGS拟牛顿法，最后，`second_principal_component` 就是第二主成分的估计。