利用分治法查找假币问题

假币问题是一个经典的分治问题。假设有一堆硬币，其中有一个假币，其重量比真币轻。现在只有一个天平，问最少需要称多少次可以找出这个假币。

利用分治法解决这个问题的思路如下：

1. 将硬币分成三组，每组数量相等（如果无法整除，可以将多余的硬币放到任意一组中）。

2. 将两组放在天平的两端，比较它们的重量。

3. 如果两边重量相等，则说明假币在第三组中。可以递归地对第三组进行查找。

4. 如果两边重量不等，则说明假币在较轻的一组中。可以递归地对较轻的一组进行查找。

5. 重复上述过程，直到找到假币。

根据上述思路，最少需要称的次数为 log3(n)，其中n为硬币的总数。

这种分治算法的时间复杂度为O(log3(n))，比传统的二分查找更快。

相关问题

分治法求解查找假币问题python

假币问题可以使用分治法求解。假币问题是指有 $n$ 枚硬币，其中有一枚是假币，假币与真币的重量不同，但不知道假币比真币轻还是重。现在要用天平进行称重，最少需要称几次，才能找出假币。

分治法的思路是将硬币分成若干组，每组数量相等或相差不超过 $1$ 枚，并对每组进行称重。如果某组的重量与其他组的重量不同，则假币在这组中。否则，假币在剩余的硬币中。这样，假币问题就被转化为了一个规模更小的子问题，可以递归求解。

以下是一个 Python 实现：

def find_fake_coin(coins):
    n = len(coins)
    # 特殊情况：只有一枚硬币
    if n == 1:
        return 0

    # 将硬币分成三组
    group_size = n // 3
    group1 = coins[:group_size]
    group2 = coins[group_size:2*group_size]
    group3 = coins[2*group_size:]

    # 比较 group1 和 group2 的重量
    if sum(group1) == sum(group2):
        # 假币在 group3 中
        return find_fake_coin(group3) + 2*group_size
    elif sum(group1) < sum(group2):
        # 假币在 group1 中
        return find_fake_coin(group1)
    else:
        # 假币在 group2 中
        return find_fake_coin(group2) + group_size

这个函数接受一个硬币列表，返回假币的位置（从 $0$ 开始计数）。例如，假设有 $7$ 枚硬币，其中第 $3$ 枚是假币，并且假币比真币轻。可以这样调用函数：

coins = [10, 10, 9, 10, 10, 10, 10]
fake_coin = find_fake_coin(coins)
print("假币在第 %d 枚" % fake_coin)

输出为：

假币在第 2 枚

注意，这个实现假设硬币数量是 $3$ 的幂次，因此可以无限递归下去。如果硬币数量不是 $3$ 的幂次，则需要在最后剩下一组不超过两枚硬币时，直接比较它们的重量即可。

分治法递归求解查找假币问题C++

查找假币问题可以通过分治法递归求解。

假设有n个硬币，其中有且仅有一个假币，重量比真币轻。现在给你一个天平，问最少需要称多少次，才能找出假币。

解题思路：

1.如果有1个硬币，显然不需要称。

2.如果有2个硬币，只需要称一次即可。

3.如果有3个硬币，可以将它们分成两组，分别称一次。如果两组的重量相等，那么假币在第三组中，需要再称一次；否则假币在较轻的那组中，需要再称一次。

4.如果有4个硬币，可以将它们分成两组，分别称一次。如果两组的重量相等，那么假币在另外两个硬币中，需要再称一次；否则假币在较轻的那组中，需要再称一次。

……

可以发现，如果有n个硬币，可以将它们分成三组：每组都有n/3个硬币。然后分别称一次，如果三组的重量相等，那么假币在剩余的n-3n/3=n/3个硬币中，需要再称一次；否则假币在较轻的那组中，需要再称一次。这个过程可以用递归实现。

下面是C++代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;

int weigh(int n)
{
    if(n==1) return 0; //只有一个硬币，不需要称
    if(n==2) return 1; //有两个硬币，只需要称一次
    int w=weigh(n/3*2); //先将n个硬币分成三组，每组都有n/3个硬币
    if((n-n/3*3)==1) return w+2; //剩余一个硬币，需要称两次
    else if((n-n/3*3)==2) return w+1; //剩余两个硬币，需要称一次
    else return w+2; //剩余三个硬币，需要称两次
}

int main()
{
    int n;
    cout<<"请输入硬币的个数：";
    cin>>n;
    cout<<"最少需要称的次数为："<<weigh(n)<<endl;
    return 0;
}