证明循环码的校验矩阵是其对偶码的生成矩阵

时间: 2023-12-03 12:02:51 浏览: 42
循环码的生成矩阵是一个 $k \times n$ 的矩阵,其中 $k$ 是码字长度,$n$ 是码长。校验矩阵是一个 $(n-k) \times n$ 的矩阵,其可由生成矩阵经过一系列变换得到其对偶码的生成矩阵。 假设循环码的生成矩阵为 $G$,则其对偶码的生成矩阵为 $G^T$(矩阵 $G$ 的转置)。对于任意一个码字 $\mathbf{x}$,其对应的校验矩阵为 $\mathbf{H}$,满足 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{H}^T = \mathbf{0}$,其中 $\cdot$ 表示矩阵乘法。 根据循环码的定义,对于任意一个码字 $\mathbf{x}$,都有 $\mathbf{x} \cdot G^T = \mathbf{0}$。将 $G^T$ 表示为列向量 $\mathbf{g}_1,\mathbf{g}_2,\cdots,\mathbf{g}_n$ 的形式,则有: $$ \mathbf{x} \cdot G^T = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{g}_1 \\ \mathbf{g}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{g}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\mathbf{g}_1 + x_2\mathbf{g}_2 + \cdots + x_k\mathbf{g}_k \\ x_1\mathbf{g}_2 + x_2\mathbf{g}_3 + \cdots + x_k\mathbf{g}_{k+1} \\ \vdots \\ x_1\mathbf{g}_n + x_2\mathbf{g}_{n-1} + \cdots + x_k\mathbf{g}_{n-k+1} \end{pmatrix} = \mathbf{0} $$ 因此,对于任意一个列向量 $\mathbf{h}$,都有 $\mathbf{h} \cdot G^T = \mathbf{0}$。这意味着对于任意一个校验矩阵的列向量 $\mathbf{h}$,都可以通过 $\mathbf{h} = \mathbf{g}_i$ 的形式表示为生成矩阵 $G$ 的一列。因此,校验矩阵 $\mathbf{H}$ 是生成矩阵 $G$ 的对偶码的生成矩阵的转置,即 $\mathbf{H} = (G^T)^T$,证毕。

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