证明循环码的校验矩阵是其对偶码的生成矩阵

循环码的生成矩阵是一个 $k \times n$ 的矩阵，其中 $k$ 是码字长度，$n$ 是码长。校验矩阵是一个 $(n-k) \times n$ 的矩阵，其可由生成矩阵经过一系列变换得到其对偶码的生成矩阵。

假设循环码的生成矩阵为 $G$，则其对偶码的生成矩阵为 $G^T$（矩阵 $G$ 的转置）。对于任意一个码字 $\mathbf{x}$，其对应的校验矩阵为 $\mathbf{H}$，满足 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{H}^T = \mathbf{0}$，其中 $\cdot$ 表示矩阵乘法。

根据循环码的定义，对于任意一个码字 $\mathbf{x}$，都有 $\mathbf{x} \cdot G^T = \mathbf{0}$。将 $G^T$ 表示为列向量 $\mathbf{g}_1,\mathbf{g}_2,\cdots,\mathbf{g}_n$ 的形式，则有：

$$
\mathbf{x} \cdot G^T =
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & \cdots & x_k
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{g}_1 \\
\mathbf{g}_2 \\
\vdots \\
\mathbf{g}_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1\mathbf{g}_1 + x_2\mathbf{g}_2 + \cdots + x_k\mathbf{g}_k \\
x_1\mathbf{g}_2 + x_2\mathbf{g}_3 + \cdots + x_k\mathbf{g}_{k+1} \\
\vdots \\
x_1\mathbf{g}_n + x_2\mathbf{g}_{n-1} + \cdots + x_k\mathbf{g}_{n-k+1}
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}
$$

因此，对于任意一个列向量 $\mathbf{h}$，都有 $\mathbf{h} \cdot G^T = \mathbf{0}$。这意味着对于任意一个校验矩阵的列向量 $\mathbf{h}$，都可以通过 $\mathbf{h} = \mathbf{g}_i$ 的形式表示为生成矩阵 $G$ 的一列。因此，校验矩阵 $\mathbf{H}$ 是生成矩阵 $G$ 的对偶码的生成矩阵的转置，即 $\mathbf{H} = (G^T)^T$，证毕。