指派问题求解的匈牙利方法?
时间: 2024-06-19 18:02:52 浏览: 6
匈牙利算法是一种解决二分图最大匹配的算法。其基本思想是从左边的一个未匹配点出发,依次找到可以与其匹配的右边的未匹配点,如果该点未被匹配,那么直接匹配;如果该点已经被匹配,那么判断该点所匹配的左边点能否寻找到其他未匹配的右边点进行重新匹配,如果可以,则重新匹配,否则无法匹配。
具体实现中,可以使用增广路来进行匹配。假设我们从左边的一个未匹配点开始,找到了一条增广路,那么我们就可以将该路径上的所有点进行匹配。然后再从下一个未匹配点开始找增广路,直到找不到为止。
具体步骤如下:
1. 对于每个左边的未匹配点,从该点开始寻找增广路。
2. 如果能够找到增广路,就将路径上的所有点进行匹配,并继续寻找下一个未匹配点的增广路。
3. 如果无法找到增广路,那么当前未匹配点就无法匹配,结束算法。
相关问题
matlab指派问题求解
如果您需要求解 MATLAB 中的指派问题,可以使用 MATLAB 自带的 `munkres` 函数。该函数实现了一个名为匈牙利算法的指派问题求解方法。该算法的时间复杂度为 O(n^3),其中 n 为指派矩阵的大小。
以下是一个示例代码,演示如何使用 `munkres` 函数求解指派问题:
```matlab
% 构造一个 5x5 的指派矩阵
A = randi([0, 10], 5, 5)
% 使用 munkres 函数求解指派问题
[assignment, cost] = munkres(A)
% 输出指派结果和总成本
disp('指派结果:')
disp(assignment)
disp('总成本:')
disp(cost)
```
在上述示例中,`A` 是一个 5x5 的随机矩阵,`assignment` 是一个 1x5 的向量,表示每一行分配给哪一列,`cost` 是总成本。
匈牙利算法求解指派问题的代码
以下是使用匈牙利算法求解二分图最大权完美匹配的 Python 代码:
```python
INF = float('inf')
def hungarian_algorithm(graph):
"""
使用匈牙利算法求解二分图最大权完美匹配
:param graph: 二分图的邻接矩阵表示
:return: 匹配结果,包含每个右侧节点所匹配的左侧节点的编号
"""
n = len(graph)
match = [-1] * n # 匹配结果,初始全部为-1
slack = [INF] * n # slack数组,记录每个右侧节点在当前匹配中可以被增广的最小权值
visited = [False] * n # 记录左侧节点是否已被访问
def dfs(u):
"""
从左侧节点u开始进行增广,返回是否找到增广路
"""
visited[u] = True
for v in range(n):
if not visited[v] and graph[u][v] < INF:
gap = slack[v] - graph[u][v]
if gap == 0:
visited[v] = True
if match[v] == -1 or dfs(match[v]):
match[v] = u
return True
elif gap < slack[v]:
slack[v] = gap
return False
# 对每个左侧节点进行增广
for u in range(n):
# 初始化slack数组
slack = [INF] * n
# 如果当前左侧节点还未匹配,则进行增广
if match[u] == -1:
# 找到当前左侧节点能够到达的所有右侧节点的最小权值
min_weight = INF
for v in range(n):
min_weight = min(min_weight, graph[u][v])
# 如果当前左侧节点不能到达任何一个右侧节点,则无法形成完美匹配
if min_weight == INF:
return None
# 更新slack数组
for v in range(n):
if graph[u][v] < INF:
slack[v] = min(slack[v], graph[u][v] - min_weight)
# 尝试从当前左侧节点开始增广
while True:
visited = [False] * n
if dfs(u):
break
# 如果找不到增广路,则更新slack数组
delta = INF
for v in range(n):
if not visited[v] and slack[v] < delta:
delta = slack[v]
for i in range(n):
if visited[i]:
match[i] = -1
if slack[i] < INF:
slack[i] -= delta
else:
slack[i] = INF
return match
```
其中,二分图的邻接矩阵 `graph` 应为一个 $n \times n$ 的矩阵,第 $i$ 行第 $j$ 列表示从左侧节点 $i$ 到右侧节点 $j$ 的边的权值。如果不存在这条边,则权值应为正无穷(`INF`)。函数返回的匹配结果 `match` 为一个长度为 $n$ 的列表,其中第 $i$ 个元素表示右侧节点 $i$ 所匹配的左侧节点的编号。如果右侧节点 $i$ 没有被匹配,则对应元素的值为 -1。
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