n(n+1)x^n，n从1趋近无穷，求该幂级数的和函数

为了求这个幂级数的和函数，我们可以使用幂级数求和的方法。具体来说，我们可以对该幂级数进行求导，得到：

S(x) = ∑[n=1,∞] n(n+1)x^n
S'(x) = ∑[n=1,∞] n(n+1)x^(n-1)
= ∑[n=0,∞] (n+1)(n+2)x^n

注意到上面的求和符号是从n=0开始的，因此我们可以将其重新表示为：

S'(x) = ∑[n=0,∞] (n+1)(n+2)x^n
= ∑[n=0,∞] (n^2 + 3n + 2)x^n
= ∑[n=0,∞] n^2x^n + 3∑[n=0,∞] nx^n + 2∑[n=0,∞] x^n

现在我们需要分别求出三个幂级数的和函数，即：

F(x) = ∑[n=0,∞] n^2x^n
G(x) = ∑[n=0,∞] nx^n
H(x) = ∑[n=0,∞] x^n

对于F(x)，我们可以将其看作是x的一个二阶导数，因此有：

F(x) = x(d^2/dx^2)(∑[n=0,∞] x^n)
= x(d^2/dx^2)(1/(1-x))
= 2x/(1-x)^3

对于G(x)，我们可以将其看作是x的一阶导数，因此有：

G(x) = x(d/dx)(∑[n=0,∞] x^n)
= x(d/dx)(1/(1-x))
= 1/(1-x)^2

对于H(x)，我们有：

H(x) = ∑[n=0,∞] x^n
= 1/(1-x)

现在我们可以将S'(x)表示为：

S'(x) = F(x) + 3G(x) + 2H(x)
= 2x/(1-x)^3 + 3/(1-x)^2 + 2/(1-x)

对S(x)进行积分，得到：

S(x) = -2ln(1-x)/(1-x)^2 - 3/(1-x) - 2ln(1-x) + C

其中C为常数。由于S(0) = 0，我们有C = 0，因此：

S(x) = -2ln(1-x)/(1-x)^2 - 3/(1-x) - 2ln(1-x)

因此，原幂级数的和函数为S(x)。