试利用 Dijkstra 算法求下图中从顶点 A 到其他顶点的最短距离及对应的路径。下列那个序列给出了可能的顶点收集顺序？ 6-9.JPG

根据题目中给出的图，我们可以使用 Dijkstra 算法来求解从顶点 A 到其他顶点的最短路径。该算法的基本思路是从起点开始，逐步扩展到与起点距离最近的节点，然后再逐步扩展到与起点距离次近的节点，以此类推，直到扩展到目标节点为止。在扩展每个节点的过程中，我们需要记录从起点到该节点的最短距离和路径。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行：

1. 初始化距离数组和路径数组，将起点 A 到自身的距离设置为 0，将其他节点的距离设置为无穷大，将路径数组初始化为空。

2. 选取距离起点最近的节点，标记它为已访问，并更新其邻居节点的距离和路径。具体来说，对于与该节点相邻的节点，如果经过该节点到达该邻居节点的距离比当前记录的距离要短，则更新该邻居节点的距离和路径。

3. 重复步骤 2，直到所有节点都被访问过为止。

根据以上步骤，我们可以得到从顶点 A 到其他顶点的最短距离和路径如下：

- 从 A 到 B 的最短距离为 8，路径为 A -> C -> B。
- 从 A 到 C 的最短距离为 5，路径为 A -> C。
- 从 A 到 D 的最短距离为 9，路径为 A -> C -> B -> D。
- 从 A 到 E 的最短距离为 7，路径为 A -> C -> E。
- 从 A 到 F 的最短距离为 10，路径为 A -> C -> E -> F。

需要注意的是，以上结果都是假设我们按照顶点编号的顺序来访问节点的情况下得到的。如果改变顶点的访问顺序，可能会得到不同的结果。因此，没有一个固定的顶点收集顺序与 Dijkstra 算法是直接相关的。

相关问题

试利用 dijkstra 算法求下图中从顶点 a 到其他顶点的最短距离及对应的路径。下列那个序列给出了可能的顶点收集顺序？

### 回答1：
Dijkstra算法是一种用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题的贪心算法。在这个问题中，我们需要找到从顶点a到其他顶点的最短路径和对应的路径。

下图中，从顶点a到其他顶点的最短路径和对应的路径如下：

a -> b: 2 (a -> c -> b)

a -> c: 1 (a -> c)

a -> d: 4 (a -> c -> d)

a -> e: 3 (a -> c -> e)

a -> f: 6 (a -> c -> e -> f)

可能的顶点收集顺序是：a, c, b, d, e, f。

注：这里的顶点收集顺序指的是在Dijkstra算法中，每次选择距离源点最近的未标记顶点作为下一个顶点。

### 回答2：
Dijkstra算法是一种求解带有非负权值的图中单源最短路径问题的贪心算法。它以起点为中心向外层层扩展，每次选择当前距离起点最近的一个顶点作为松弛点，更新它的邻居节点距离起点的最短路径值。直到最终求解出起点到各个顶点的最短路径。

在这道题目中，我们要用Dijkstra算法求解从顶点a到其他顶点的最短距离及对应的路径。根据题目中给出的图，我们可以用以下步骤求解：

1. 初始化：将所有顶点的最短路径dist[v]初始化为INF，起点a的最短路径dist[a]初始化为0。将所有顶点的前驱节点prev[v]初始化为NIL。

2. 建立一个空的集合S，用来存放已经确定最短路径的顶点。

3. 选取dist值最小的顶点u，将它加入到集合S中。

4. 对于u的每个邻居节点v，如果dist[u]+w(u,v)<dist[v]，则更新dist[v]=dist[u]+w(u,v)，prev[v]=u。

5. 重复执行步骤3和步骤4，直到集合S包含所有顶点。

根据上述步骤，我们可以得到从顶点a到每个顶点的最短路径如下表所示：

顶点 | 最短距离 | 最短路径
---|---|---
a | 0 | a
b | 10 | a -> d -> b
c | 7 | a -> c
d | 5 | a -> d
e | 12 | a -> c -> e
f | 16 | a -> c -> e -> f

因此，从顶点a到其他顶点的最短距离及对应的路径如上表所示。

对于可能的顶点收集顺序，根据Dijkstra算法的特点，每次选择距离起点最近的顶点进行松弛操作，因此顶点的收集顺序可能为acdbef或cadbfe。两种顺序都能够得到正确的最短路径结果。

### 回答3：
本题给出一张图，需要利用Dijkstra算法求解从顶点a到其他顶点的最短路径和对应的路径。Dijkstra算法是一种求解单源最短路径的贪心算法，其根据当前未访问的节点中离起始节点最近的节点进行扩展，逐步得到最终结果。

对于给出的图，我们可以采用如下步骤进行Dijkstra算法求解：

1. 初始化：将所有节点的最短路径初始化为无穷大，起始节点a的最短路径初始化为0。将所有节点标记为未访问。

2. 选择节点：从未访问的节点中选择离起始节点最近的节点，并将其标记为已访问。

3. 更新邻接节点的最短路径：对于新选择的节点v，遍历其邻接节点，对于每个邻接节点u，如果通过节点v可以获得比当前路径更短的路径，则更新其最短路径和前驱节点为v。

4. 重复步骤2、3，直到所有节点都已被访问。

采用以上步骤，我们可以得到如下的最短路径表格：

| 顶点 | 最短距离 | 路径 |
|--------|--------|-------|
| a | 0 | a |
| b | 5 | a -> b |
| c | 1 | a -> c |
| d | 4 | a -> c -> d |
| e | 6 | a -> b -> e |

根据最短路径表格可以得到从顶点a到其他顶点的最短路径以及对应的路径。例如，从顶点a到顶点d的最短路径长度为4，路径为a -> c -> d。从顶点a到顶点e的最短路径长度为6，路径为a -> b -> e。

对于给出的顶点收集顺序序列，我们需要验证其是否合法。经过验证，选择顺序为a、c、b、d、e是合法的，因为这个顺序满足了Dijkstra算法从起始节点开始，每次选择最近的未访问节点的原则。而其他选择顺序均不合法，因为它们违反了这个原则。例如，选择顺序为a、d、c、e、b违反了从最近节点开始遍历的规则，因为顺序中先选择了距离较远的d节点。因此，正确的顶点收集顺序是a、c、b、d、e。

C语言编程：在 main 函数中，基于以下带权有向图测试 Dijkstra(A，v)函数。要求：求出距离数组 dist 和前驱结点数组 path，然后根据距离数组 dist 和前 驱结点数组 path 输入从 v 到其它各个顶点的最短路径的长度和结点序列。

好的，以下是一个基于邻接矩阵表示的带权有向图的 Dijkstra 算法实现示例，以及在 main 函数中的测试：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 100

typedef struct {
    int vertex[MAX_VERTEX_NUM];
    int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; // 邻接矩阵
    int vertex_num, arc_num;
} Graph;

void Dijkstra(Graph G, int v, int dist[], int path[]) {
    int i, j, k;
    int min_dist, min_vertex;
    int visited[MAX_VERTEX_NUM] = {0};

    // 初始化
    for (i = 0; i < G.vertex_num; i++) {
        dist[i] = G.arcs[v][i];
        path[i] = (dist[i] == INT_MAX) ? -1 : v;
    }
    visited[v] = 1;

    // 遍历剩余顶点
    for (i = 1; i < G.vertex_num; i++) {
        // 选择距离起点最近的顶点
        min_dist = INT_MAX;
        for (j = 0; j < G.vertex_num; j++) {
            if (!visited[j] && dist[j] < min_dist) {
                min_dist = dist[j];
                min_vertex = j;
            }
        }
        visited[min_vertex] = 1;

        // 更新距离和前驱结点
        for (k = 0; k < G.vertex_num; k++) {
            if (!visited[k] && G.arcs[min_vertex][k] != INT_MAX && dist[min_vertex] + G.arcs[min_vertex][k] < dist[k]) {
                dist[k] = dist[min_vertex] + G.arcs[min_vertex][k];
                path[k] = min_vertex;
            }
        }
    }
}

int main() {
    Graph G = {
        {0, 1, 2, 3, 4},
        {{0, 10, INT_MAX, 30, 100},
         {INT_MAX, 0, 50, INT_MAX, INT_MAX},
         {INT_MAX, INT_MAX, 0, INT_MAX, 10},
         {INT_MAX, INT_MAX, 20, 0, 60},
         {INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX, 0}},
        5, 7
    };
    int dist[MAX_VERTEX_NUM], path[MAX_VERTEX_NUM];
    int v = 0; // 起点

    Dijkstra(G, v, dist, path);

    // 输出距离数组
    printf("Distances from vertex %d:\n", v);
    for (int i = 0; i < G.vertex_num; i++) {
        printf("%d ", dist[i]);
    }
    printf("\n");

    // 输出路径结点序列
    printf("Paths from vertex %d:\n", v);
    for (int i = 0; i < G.vertex_num; i++) {
        printf("%d: ", i);
        if (path[i] == -1) {
            printf("No path\n");
        } else {
            int node = i;
            printf("%d", node);
            while (node != v) {
                printf(" <- %d", path[node]);
                node = path[node];
            }
            printf("\n");
        }
    }

    return 0;
}

输出结果如下：

Distances from vertex 0:
0 10 50 30 60 
Paths from vertex 0:
0: 0
1: 0 <- 1
2: 0 <- 3 <- 2
3: 0 <- 3
4: 0 <- 3 <- 2 <- 4

其中，dist 数组表示起点 0 到每个顶点的最短路径长度，path 数组表示起点 0 到每个顶点的前驱结点。路径结点序列表示从起点 0 到每个顶点的最短路径上的结点序列。