利用拉格朗日插值法,取节点 x0=2,x1 =2.5,x3=4 ,对函数 f(x)=1/x建立二次插值多项式,计算 f(3)的近似值并估计误差。
时间: 2024-04-05 08:33:07 浏览: 58
根据拉格朗日插值法,可以得到二次插值多项式为:
L2(x) = f(x0)*((x-2.5)*(x-4))/((2-2.5)*(2-4))
+ f(x1)*((x-2)*(x-4))/((2.5-2)*(2.5-4))
+ f(x3)*((x-2)*(x-2.5))/((4-2)*(4-2.5))
代入 f(x)=1/x,得到:
L2(x) = (2*(x-2.5)*(x-4))/((2-2.5)*(2-4)*x)
- (4*(x-2)*(x-4))/((2.5-2)*(2.5-4)*x)
+ (2.5*(x-2)*(x-2.5))/((4-2)*(4-2.5)*x)
因此,f(3)的近似值为:
L2(3) = (2*(3-2.5)*(3-4))/((2-2.5)*(2-4)*3)
- (4*(3-2)*(3-4))/((2.5-2)*(2.5-4)*3)
+ (2.5*(3-2)*(3-2.5))/((4-2)*(4-2.5)*3)
≈ 0.3043
接下来,我们需要估计误差。根据拉格朗日插值多项式的误差公式,可以得到:
f(x) - L2(x) = (x-2)*(x-2.5)*(x-4)*f^(3)(ξ)/(3!*x*x*x)
其中,f^(3)(ξ) 表示在区间 [2,4] 内 f(x)=1/x 的三阶导数,ξ 是介于 x0、x1、x3 之间的某一值。由于 f(x)=1/x 的三阶导数为 6/x^4,因此:
|f(x) - L2(x)| ≤ |(x-2)*(x-2.5)*(x-4)*6/(3!*3^4)|
当 x=3 时,误差的上界为:
|f(3) - L2(3)| ≤ |(3-2)*(3-2.5)*(3-4)*6/(3!*3^4)|
≈ 0.0026
因此,f(3) 的近似值为 0.3043,误差的上界为 0.0026。
阅读全文