1/(4x^2-1)在x=0处的高阶导数

可以利用幂级数展开来求解。将1/(4x^2-1)展开成幂级数的形式，得到：

1/(4x^2-1) = 1 - 4x^2 + 16x^4 - 64x^6 + ...

在x=0处求取n阶导数时，只需要将等式右侧的表达式求取x^n的系数即可。由于该幂级数的通项公式中没有(2n)!的因子，因此只需要考虑x的偶次幂。我们可以发现，当n为偶数时，x^n的系数为(-1)^(n/2) * (2n-1)!! / 4^n，其中(2n-1)!!表示奇数的阶乘。

因此，在x=0处的高阶导数为：

f^(n)(0) = n! * (-1)^(n/2) * (2n-1)!! / 4^n (n为偶数)

例如：

f''(0) = 2! * (-1)^(2/2) * (2*2-1)!! / 4^2 = 3/8

f^(4)(0) = 4! * (-1)^(4/2) * (2*4-1)!! / 4^4 = -15/16

注意，当n为奇数时，x^n的系数为0，因此在此处的高阶导数为0。

相关问题

1/(4x^2-1)的高阶导数

好的，让我来帮你计算一下。我们可以使用泰勒公式，将函数展开成无限幂级数的形式，然后求出其高阶导数。具体地，我们有：

1/(4x^2-1) = 1/2 * [1/(2x-1) - 1/(2x+1)]

将每一个分式展开成泰勒级数，得到：

1/(2x-1) = ∑[2n!/(n!)^2] * (x-1/2)^n / 2^n

1/(2x+1) = ∑[(-2)^n * 2n!/(n!)^2] * (x+1/2)^n / 2^n

将上面两个级数代入到原函数的式子当中，得到：

1/(4x^2-1) = ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (x-1/2)^n - ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (x+1/2)^n

对这个式子求高阶导数，我们需要用到二项式定理，得到：

d^n/dx^n [1/(4x^2-1)] = ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (-1)^n * (n choose k) * (x-1/2)^(n-k) * (x+1/2)^k

其中，(n choose k) 是组合数，表示从 n 个元素中选出 k 个元素的不同组合方式数目。

希望这个答案能够帮助你解决问题！

matlab实现 1、已知多项式a(x)=x2+2x+3，b(x)=x*+4x2+5x+6，求a(x)=0的根和a(x)·b(x)的微分。

在MATLAB中，你可以使用`roots`函数来找到多项式的零点，也就是方程`a(x)`=0的根，使用`polyder`函数计算两个多项式的乘积的导数。以下是步骤：

1. **寻找多项式`a(x)`的零点**:

syms x % 定义变量x为符号类型
a = x^2 + 2*x + 3; % 定义多项式a(x)
zeros_a = roots(a); % 使用roots函数计算a(x)的根

运行上述代码后，`zeros_a`将是一个向量，包含多项式`a(x)`的所有实根。

2. **计算`a(x)`和`b(x)`的乘积及其导数**:

b = x + 4*x^2 + 5*x + 6; % 定义多项式b(x)
ab_product = a * b; % 计算两者的乘积
% 对乘积求导，得到a(x)b(x)的导数
ab_derivative = diff(ab_product, x); % 使用diff函数对x求导

现在`ab_product`包含了`a(x) * b(x)`的结果，而`ab_derivative`则是它的导数值。

请注意，`polyder`默认考虑的是连续函数的一阶导数，如果你需要更高阶的导数，可以指定额外的输入参数，如`diff(ab_product, 2)`表示二阶导数。