已知AR(2)模型为，且， （1）求，； （2）计算前3个格林函数，；

好的，我来回答你的问题。

（1）首先，我们知道AR(2)模型可以表示为：

$$
y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \varepsilon_t
$$

其中，$\varepsilon_t$ 是一个白噪声随机变量。根据这个模型，我们可以列出其特征方程：

$$
\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0
$$

解这个方程，得到两个根 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$，可以证明，如果这两个根的模都小于1，那么这个AR(2)模型是平稳的。因此，我们需要先求出这两个根。

根据求根公式，我们有：

$$
\lambda_{1,2} = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4 \phi_2}}{2}
$$

因此，

$$
\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4 \phi_2}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4 \phi_2}}{2}
$$

现在，我们需要求出 $\phi_1$ 和 $\phi_2$。根据AR(2)模型的定义，我们可以将其写成如下形式：

$$
y_t - \phi_1 y_{t-1} - \phi_2 y_{t-2} = \varepsilon_t
$$

如果我们对这个式子进行自相关运算，就可以得到其自相关系数：

$$
\begin{aligned}
\gamma(0) &= \operatorname{Var}(y_t) = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1 - \phi_1^2 - \phi_2^2} \\
\gamma(1) &= \operatorname{Cov}(y_t, y_{t-1}) = \phi_1 \gamma(0) \\
\gamma(2) &= \operatorname{Cov}(y_t, y_{t-2}) = \phi_1 \gamma(1) + \phi_2 \gamma(0) = \phi_1^2 \gamma(0) + \phi_2 \gamma(0)
\end{aligned}
$$

其中，$\sigma_\varepsilon^2$ 是白噪声的方差。

现在，我们已知了 $\gamma(0)$、$\gamma(1)$ 和 $\gamma(2)$，可以通过解这个方程组，求出 $\phi_1$ 和 $\phi_2$：

$$
\begin{cases}
\gamma(0) = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1 - \phi_1^2 - \phi_2^2} \\
\gamma(1) = \phi_1 \gamma(0) \\
\gamma(2) = \phi_1^2 \gamma(0) + \phi_2 \gamma(0)
\end{cases}
$$

这个方程组的解是：

$$
\begin{cases}
\phi_1 = \frac{\gamma(1)}{\gamma(0)} \\
\phi_2 = \frac{\gamma(2) - \phi_1 \gamma(1)}{\gamma(0)}
\end{cases}
$$

这样，我们就求出了 $\phi_1$ 和 $\phi_2$。接下来，我们可以计算出 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$：

$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4 \phi_2}}{2} \\
\lambda_2 &= \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4 \phi_2}}{2}
\end{aligned}
$$

（2）接下来，我们来计算前3个格林函数。根据AR(2)模型的定义，格林函数可以表示为：

$$
g_k = \frac{\lambda_1^k - \lambda_2^k}{\lambda_1 - \lambda_2}
$$

其中，$k$ 表示滞后期数。根据上面的计算，我们已经求出了 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$。因此，我们可以依次计算 $g_0$、$g_1$ 和 $g_2$：

$$
\begin{aligned}
g_0 &= \frac{1}{1 - \phi_1 - \phi_2} \\
g_1 &= \frac{\phi_1 - \lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2} g_0 \\
g_2 &= \frac{\phi_1^2 - (\lambda_1 + \lambda_2) \phi_1 + \lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2} g_0
\end{aligned}
$$

这样，我们就计算出了前3个格林函数。